Question

cot theta upon 1 minus 10 theta + tan theta 1 minus cot theta is equal to 1 + cos theta sec theta ​

Answer 1

Solution: cot∅/(1 - tan∅) + tan∅/(1 - cot∅)

→ cos∅/sin∅/(1 - sin∅/cos∅) + sin∅/cos∅/(1 - cos∅/sin∅)

→ cos∅/sin∅/(cos∅ - sin∅)/cos∅ + sin∅/cos∅/(sin∅ - cos∅)/sin∅

→ cos²∅/sin∅(cos∅ - sin∅) + sin²∅/cos∅(sin∅ - cos∅)

→ cos²∅/sin∅(cos∅ - sin∅) + sin²∅/[- cos∅(cos∅ - sin∅)]

→ 1/(cos∅ - sin∅) × [cos²∅/sin∅ - sin²∅/cos∅]

→ 1/(cos∅ - sin∅) × [(cos³∅ - sin³∅)/sin∅ cos∅]

→ 1/(cos∅ - sin∅) × (cos∅ - sin∅)(cos²∅ + cos∅ sin∅ + sin²∅)/cos∅ sin∅

→ (1 + cos∅ sin∅)/sin∅ cos∅

→ cosec∅ sec∅ + 1

Hence Proved

Answer 2

Question :-

Prove that ,

$\sf{ \footnotesize \frac{ \green{\cot( \theta)} }{\red{1 - \tan( \theta) }} + \frac{ \tan( \theta) }{1 - \cot( \theta) } = 1 +\pink{ \csc( \theta) \: \sec( \theta) }}$

Formula used :-

$\star \red{ \tan( \theta) }= \frac{ \green{ \sin( \theta) }}{ \cos( \theta) } \\ \star \pink{ \cot( \theta) } = \frac{ \cos( \theta) }{ \red{\sin( \theta) }} \\ \star \: \green{{x}^{3} - {y}^{3} } = \red{ (x - y)( {x}^{2} + {y}^{2} + xy)}$

Proof :-

We have to prove LHS = RHS

Taking left hand side ,

$\rightarrow \footnotesize \frac{ \cot( \theta) }{1 - \tan( \theta)} + \frac{ \tan( \theta) }{1 - \cot( \theta) }\\ \\ \rightarrow \frac{ \frac{ \cos( \theta) }{ \sin( \theta) } }{1 - \frac{ \sin( \theta) }{ \cos( \theta) } } + \frac{ \frac{ \sin( \theta) }{ \cos( \theta) } }{1- \frac{ \cos( \theta) }{ \sin( \theta) }} \\ \\ \rightarrow \footnotesize \frac{ { \cos }^{2}( \theta) }{ \sin( \theta) \big( \cos( \theta) - \sin( \theta) \big) } + \frac{ { \sin }^{2}( \theta) }{ \cos( \theta) \big( \sin( \theta) - \cos( \theta) \big)} \: \\ \\ \rightarrow \footnotesize \: \frac{ { \cos }^{2}( \theta) }{ \sin( \theta) \big( \cos( \theta) - \sin( \theta) \big) } \: - \frac{ { \sin }^{2}( \theta) }{ \cos( \theta) \big( - \sin( \theta) + \cos( \theta) \big)} \: \\ \\ \rightarrow \footnotesize \frac{ { \cos}^{3} ( \theta) - { \sin }^{3} ( \theta)}{ \big( \sin( \theta) \cos( \theta) \big) \big( \cos( \theta) - \sin( \theta) \big) } \\ \\ \rightarrow \footnotesize \frac{ \big( \cos( \theta) - \sin( \theta) \big) \big( { \sin }^{2}( \theta) + { \cos }^{2}( \theta ) + \cos( \theta) \sin( \theta) \big) }{ \big( \sin( \theta) \cos( \theta) \big) \big( \cos( \theta) - \sin( \theta) \big) \: } \\ \\ \rightarrow \: \frac{1 + \cos( \theta) \sin( \theta) }{ \cos( \theta) \sin( \theta) } \\ \\ \rightarrow \: \frac{1}{ \cos( \theta) } \frac{}{ \sin( \theta) } + 1 \\ \\ \rightarrow \: 1 + \sec( \theta) \csc( \theta)$

Hence proved .