Question

cotA×cotB=3 then prove that cos(A+B)/cos(A-B)=1/2

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{cot\,A\;cot\,B=3}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{\dfrac{cos(A+B)}{cos(A-B)}=\dfrac{1}{2}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{cot\,A\;cot\,B=3}$

$\mathsf{\dfrac{cos\,A}{sin\,A}{\times}\dfrac{cos\,B}{sin\,B}=3}$

$\mathsf{\dfrac{cos\,A\;cos\,B}{sin\,A\;sin\,B}=3}$

$\mathsf{cos\,A\;cos\,B=3\;sin\,A\;sin\,B}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{\dfrac{cos(A+B)}{cos(A-B)}}$

$\mathsf{=\dfrac{cos\,A\;cos\B-sin\,A\;sin\,B}{cos\,A\;cos\B+sin\,A\;sin\,B}}$

$\mathsf{=\dfrac{3\;sin\,A\;sin\B-sin\,A\;sin\,B}{3\;sin\,A\;sin\B+sin\,A\;sin\,B}}\;\;\;\;\mathsf{(Using\;\;cos\,A\;cos\,B=3\;sin\,A\;sin\,B)}$

$\mathsf{=\dfrac{2\;sin\,A\;sin\,B}{4\;sin\,A\;sin\,B}}$

$\mathsf{=\dfrac{2}{4}}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{2}}$

$\implies\boxed{\bf\dfrac{cos(A+B)}{cos(A-B)}=\dfrac{1}{2}}$

$\underline{\textbf{Formula used:}}$

$\boxed{\begin{minipage}{6cm} \\\mathsf{cos(A+B)=cos\,A\;cos\,B-sin\,A\;sin\,B}\\\\\mathsf{cos(A-B)=cos\,A\;cos\,B+sin\,A\;sin\,B}\\ \end{minipage}}$