Question

d^2y/dx^2+3dy/dx-10y=3x^2

Answer 1

$\underline{\textsf{Solution :}}$

$\mathsf{Given,\:\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\frac{dy}{dx}-10y=3x^{2}...(i)}$

$\boxed{\textsf{Finding C.F.}}$

$\textsf{Let, the auxiliary equation be}$

$\mathsf{m^{2}+3m-10=0}$

$\implies \mathsf{(m+5)(m-2)=0}$

$\implies \mathsf{m = -5\:,\:2}$

$\therefore \mathsf{C.F.=C_{1}e^{-5x}+C_{2}e^{2x}}$

$\boxed{\textsf{Finding P.I.}}$

$\mathsf{Let,\:y_{p}=Ax^{2}+Bx+C}$

$\mathsf{Then,\:Dy_{p}=2Ax+B}$

$\&\:\mathsf{D^{2}y_{p}=2A}$

$\textsf{From (i), we get}$

$\mathsf{D^{2}y_{p}+3Dy_{p}-10y_{p}=3x^{2}}$

$\to \tiny{\mathsf{2A+3(2Ax+B)-10(Ax^{2}+Bx+C)=3x^{2}}}$

$\to \tiny{\mathsf{-10Ax^{2}+(6A-10B)x+(2A+3B-10C)=3x^{2}}}$

$\textsf{Equating coefficients, we get}$

$\mathsf{-10A=3\implies \boxed{A=-\frac{3}{10}}}$

$\mathsf{6A-10B=0}$

$\to \mathsf{6(-\frac{3}{10})-10B=0}$

$\to \mathsf{10B=-\frac{9}{5}}$

$\to \boxed{\mathsf{B=-\frac{9}{50}}}$

$\mathsf{2A+3B-10C=0}$

$\to \mathsf{2(-\frac{3}{10})+3(-\frac{9}{50})-10C=0}$

$\to \mathsf{10C=-\frac{3}{5}-\frac{27}{50}}$

$\to \mathsf{10C=-\frac{57}{50}}$

$\to \boxed{\mathsf{C=-\frac{57}{500}}}$

$\therefore \mathsf{y_{p}=-\frac{3}{10}x^{2}-\frac{9}{50}x-\frac{57}{500}}$

$\textsf{Hence, the complete solution be}$

$\mathsf{y=C.F.+y_{p}}$

$\mathsf{=C_{1}e^{-5x}+C_{2}e^{2x}-\frac{3}{10}x^{2}-\frac{9}{50}x-\frac{57}{500}}$