Question

d^2y/dx^2+dy/dx+y=sin2x​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}+y=sin2x}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Solution of the given differential equation}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}+y=sin2x}$

$\textsf{Characteristic equation is}$

$\mathsf{m^2+m=-1}$

$\textsf{To make as a perfect square}$

$\mathsf{m^2+m+\dfrac{1}{4}=-1+\dfrac{1}{4}}$

$\mathsf{\left(m+\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{-3}{4}}$

$\mathsf{\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3i^2}{4}}$

$\mathsf{m+\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i}$

$\mathsf{m=\dfrac{-1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i}$

$\textsf{The complementary function is}$

$\mathsf{e^{\frac{-1}{2}x}[A\,cos\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+B\,sin\dfrac{\sqrt{3}}{2}x]}$

$\underline{\mathsf{Particular\,integral}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin2x}{D^2+D+1}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin2x}{-4+D+1}}\;\;\;\;D^2\implies\,-4$  

$\mathsf{=\dfrac{sin2x}{D-3}}$  

$\mathsf{=\dfrac{sin2x}{D-3}{\times}\dfrac{D+3}{D+3}}$  

$\mathsf{=\dfrac{(D+3)sin2x}{D^2-9}}$  

$\mathsf{=\dfrac{D(sin2x)+3\,sin2x}{-4-9}}$  

$\mathsf{=\dfrac{(cos2x)2+3\,sin2x}{-13}}$  

$\mathsf{=\dfrac{-(2\,cos2x+3\,sin2x)}13}}$  

$\textsf{The general solution is}$

$\mathsf{y=C.F+P.I}$

$\mathsf{y=e^{\frac{-x}{2}}[A\,cos\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+B\,sin\dfrac{\sqrt{3}}{2}x]-\dfrac{(2\,cos2x+3\,sin2x)}{13}}$

$\underline{\textbf{Find more:}}$

The complementary function of (D2 + 169)y = 0 isa. Acos 12x + Bsin 12x

b. A cos 13x + B sin 13x

C. A cos 15x + B sin 15x

Acos 25x + Bsin 25x

d​

https://brainly.in/question/36564867

Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation: