Question

D, E और F क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है। (ii) $ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$
(iii) $ar(BDEF) = \frac{1}{2} ar(ABC)$

Answer 1

Answer: Step-by-step explanation:

दिया है :  

D, E और F क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं

सिद्ध करना है :    

(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।  

(ii) ar (DEF) = 1/4ar (ABC)  

(iii) ar (BDEF) = 1/2ar (ABC)

उपपत्ति :

i) चूंकि  E तथा F क्रमश:  AC तथा AB के मध्य बिंदु है।

∴ BC || FE तथा FE = ½ BC =  BD

(मध्य बिंदु प्रमेय से)

इसी प्रकार, AB || DE तथा DE = ½ AB =  BF,

अतः BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।

 

(ii) इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि FDCE तथा AFDE दोनों समांतर चतुर्भुज है।

अब, BDEF एक समांतर चतुर्भुज है तथा इसका विकर्ण  FD इसको बराबर क्षेत्रफलों के दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

∴  ar(ΔBDF) = ar(ΔDEF) — (i)

इसी प्रकार,  समांतर चतुर्भुज में,  AFDE

ar(ΔAFE) = ar(ΔDEF) — (ii)

इसी प्रकार,  समांतर चतुर्भुज में, FDCE

ar(ΔCDE) = ar(ΔDEF)  — (iii)

समी (i), (ii) तथा (iii) से,  

ar(ΔBDF) = ar(ΔAFE) = ar(ΔCDE) = ar(ΔDEF).............(iv)

∵ ar(ΔBDF) + ar(ΔAFE) + ar(ΔCDE) + ar(ΔDEF) = ar(ΔABC)

∴ 4 ar(ΔDEF) = ar(ΔABC)

[समी (iv) से]

⇒ ar(∆DEF) = 1/4 ar(∆ABC)........(v)

(iii) ar (समांतर चतुर्भुज BDEF) = ar(ΔDEF) + ar(ΔBDF)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = ar(ΔDEF) + ar(ΔDEF)

[समी (i) से]

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = 2 × ar(ΔDEF)

[समी (iv) से]

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = 2 × 1/4  ar(ΔABC)

[समी (v) से]

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = 1/2 ar(ΔABC)

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

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