Question

Determine the range of the expression
$\mathbf{\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}-x+1}}$ $\mathsf{for \: x \in R}$​

Answer 1

$\large\mathsf{Let \: y \: = \: \frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}-x+1}}$

$\mathsf{y({x}^{2}-x+1) \: = \: {x}^{2}+x+1}$

$\mathsf{y{x}^{2}-yx+y \: = \: {x}^{2}+x+1}$

$\mathsf{{x}^{2}+x+1-y{x}^{2}+yx-y \: = \: 0}$

$\mathsf{{x}^{2}(1-y)+x(1+y)+1-y}$

$\mathsf{From \: the \: above \: equation -> \: a \: = \: 1-y \: , \: b \: = \: 1+y \: , \: c \: = \: 1-y}$

$\mathsf\red{Condition \: :}$

$\mathsf{{\Delta} \: \geq \: 0}$

$\mathsf{{b}^{2}-4ac \: \geq \: 0}$

$\mathsf{{(1+y)}^{2}-4(1-y)(1-y) \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4{(1-y)}^{2} \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4{(1-y)}^{2} \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4(1+{y}^{2}-2y) \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4-4{y}^{2}+8y \: \geq \: 0}$

$\mathsf{-3{y}^{2}+10y-3 \: \geq \: 0}$

$\mathsf{3{y}^{2}-10y+3 \: \leq \: 0}$

$\mathsf{3{y}^{2}-9y-y+3 \: \leq \: 0}$

$\mathsf{3y(y-3)-(y-3) \: \leq \: 0}$

$\mathsf{(y-3)(3y-1) \: \leq \: 0}$

$\mathsf\red{So}$

$\mathsf{y \leq \: 3}$ ; $\mathsf{y \: \leq \: \frac{1}{3}}$

$\mathsf\red{then}$

$\mathsf{\frac{1}{3} \: \leq \: 3}$

$\mathsf{y \: \in \: \left[\frac{1}{3} , 3\right]}$

$\mathsf{Hence \: the \: range \: of \: expression \: is \: \left[\frac{1}{3} , 3\right]}$

Answer 2

$\large\mathsf\red{Let \: y \: = \: \frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}-x+1}}$

$\mathsf{y({x}^{2}-x+1) \: = \: {x}^{2}+x+1}$

$\mathsf{y{x}^{2}-yx+y \: = \: {x}^{2}+x+1}$

$\mathsf{{x}^{2}+x+1-y{x}^{2}+yx-y \: = \: 0}$

$\mathsf{{x}^{2}(1-y)+x(1+y)+1-y}$

$\mathsf{From \: the \: above \: equation ⇒\: a \: = \: 1-y \: , \: b \: = \: 1+y \: , \: c \: = \: 1-y}$

$\mathsf\red{Condition \: :}$

$\mathsf{{\Delta} \: \geq \: 0}$

$\mathsf{{b}^{2}-4ac \: \geq \: 0}$

$\mathsf{{(1+y)}^{2}-4(1-y)(1-y) \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4{(1-y)}^{2} \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4{(1-y)}^{2} \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4(1+{y}^{2}-2y) \: \geq \: 0}$

$\mathsf{1+{y}^{2}+2y-4-4{y}^{2}+8y \: \geq \: 0}$

$\mathsf{-3{y}^{2}+10y-3 \: \geq \: 0}$

$\mathsf{3{y}^{2}-10y+3 \: \leq \: 0}$

$\mathsf{3{y}^{2}-9y-y+3 \: \leq \: 0}$

$\mathsf{3y(y-3)-(y-3) \: \leq \: 0}$

$\mathsf{(y-3)(3y-1) \: \leq \: 0}$

$\mathsf\red{So}$

$\mathsf{y \leq \: 3}$ ; $\mathsf{y \: \leq \: \frac{1}{3}}$

$\mathsf\red{then}$

$\mathsf{\frac{1}{3} \: \leq \: 3}$

$\mathsf{y \: \in \: \left[\frac{1}{3} , 3\right]}$

$\mathsf{Hence \: the \: range \: of \: expression \: is \: \left[\frac{1}{3} , 3\right]}$