Question

determine whether the function f(x)= x e^x-1/ e^x+1 is even or odd​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{f(x)=x\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)}$

$\underline{\textbf{To determine:}}$

$\textsf{Whether f(x) is even function or odd function}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Concept used:}}$

$\textbf{A function f(x) is said to be odd if f(-x)=-f(x)}$

$\textbf{A function f(x) is said to be even if f(-x)=f(x)}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{f(x)=x\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)}$

$\mathsf{f(-x)=-x\left(\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right)}$

$\mathsf{f(-x)=-x\left(\dfrac{\dfrac{1}{e^x}-1}{\dfrac{1}{e^x}+1}\right)}$

$\mathsf{f(-x)=-x\left(\dfrac{\dfrac{1-e^x}{e^x}}{\dfrac{1+e^x}{e^x}}\right)}$

$\mathsf{f(-x)=-x\left(\dfrac{1-e^x}{e^x}{\times}\dfrac{e^x}{1+e^x}}\right)}$

$\mathsf{f(-x)=-x\left(\dfrac{1-e^x}{1+e^x}}\right)}$

$\mathsf{f(-x)=x\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}}\right)}$

$\implies\mathsf{f(-x)=f(x)}$

$\therefore\mathsf{f(x)\;is\;even\;function}$