Question

differentiate log √1-cosmx / √1+cosmx​

Answer 1

I hope it helps you..mm ..

Answer 2

$\underline{\textsf{Step by step solution :}}$

$\large{\mathsf{Now,\:\frac{1-cosmx}{1+cosmx}}}$

$\large{\mathsf{=\frac{(sin^{2}\frac{mx}{2}+cos^{2}\frac{mx}{2})-(cos^{2}\frac{mx}{2}-sin^{2}\frac{mx}{2})}{(sin^{2}\frac{mx}{2}+cos^{2}\frac{mx}{2})+(cos^{2}\frac{mx}{2}-sin^{2}\frac{mx}{2})}}}$

$\large{\mathsf{=\frac{sin^{2}\frac{mx}{2}+cos^{2}\frac{mx}{2}-cos^{2}\frac{mx}{2}+sin^{2}\frac{mx}{2}}{sin^{2}\frac{mx}{2}+cos^{2}\frac{mx}{2}+cos^{2}\frac{mx}{2}-sin^{2}\frac{mx}{2}}}}$

$\large{\mathsf{=\frac{2sin^{2}\frac{mx}{2}}{2cos^{2}\frac{mx}{2}}}}$

$\mathsf{=tan^{2}\frac{mx}{2}}$

$\to \mathsf{\frac{1-cosmx}{1+cosmx}=tan^{2}\frac{mx}{2}}$

$\to \mathsf{\sqrt{\frac{1-cosmx}{1+cosmx}}=\sqrt{tan^{2}\frac{mx}{2}}}$

$\to \mathsf{\sqrt{\frac{1-cosmx}{1+cosmx}}=tan\frac{mx}{2}}$

$\to \mathsf{log\sqrt{\frac{1-cosmx}{1+cosmx}}=log(tan\frac{mx}{2})}$

$\small{\textsf{Differentiating both sides w.r. to x, we get}}$

$\mathsf{\frac{d}{dx}[log\sqrt{\frac{1-cosmx}{1+cosmx}}]=\frac{d}{dx}[log(tan\frac{mx}{2})]}$

$\mathsf{=\frac{1}{tan\frac{mx}{2}}\frac{d}{dx}(tan\frac{mx}{2})}$

$\mathsf{=cot\frac{mx}{2}*\frac{m}{2}*sec^{2}\frac{mx}{2}}$

$\mathsf{=\frac{m}{2}*\frac{cos\frac{mx}{2}}{sin\frac{mx}{2}}*sec^{2}\frac{mx}{2}}$

$\mathsf{=\frac{m}{2}*\frac{sec\frac{mx}{2}}{sin\frac{mx}{2}}}$

$\mathsf{=\frac{m}{2sin\frac{mx}{2}cos\frac{mx}{2}}}$

$\mathsf{=\frac{m}{sinmx}}$

$\mathsf{=m\:cosecmx}$

$\to \boxed{\small{\mathsf{\frac{d}{dx}[log\sqrt{\frac{1-cosmx}{1+cosmx}}] = m\:cosecmx}}}$