Question

differentiate Y=sin^-1(2x/1+x^2)
​

Answer 1

$\bf \huge \underline \green{answer}$

$\bf \blue {y = { \sin }^{ - 1} ( \frac{2x}{1 + {2x}^{2} } )}$

$\bf{putting \: x \: = \: tan \: \theta}$

$\bf \red{y = {sin}^{ - 1} ( \frac{2x}{1 + {x}^{2} } )}$

$\bf \red{y = {sin}^{ - 1} ( \frac{2 + tan \: \theta}{1 + {tan}^{2} \theta } )}$

$\bf \red{y = {sin}^{ - 1} (sin \: 2 \: \theta)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \pink{({since \: sin \: 2 \: \theta = \frac{2 \: tan \: \theta}{1 + {tan}^{2} \theta} )}}$

$\bf \: y = 2 \: \theta$

Putting value of theta=tan^-1x.

$\bf \red{y = 2 {tan}^{ - 1} x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \fbox \pink{ \: sin \: x = tan \: \theta} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: { \bf \pink{\therefore \: {tan}^{ - 1}x = \theta }}$

Differentiating both sides w.r.t.x.

$\bf \purple{ \frac{d(y)}{dx} = \frac{d(2 \: {tan}^{ - 1} x)}{dx} }$

$\bf \purple{ \frac{dy}{dx} = 2\frac{d( {tan}^{ - 1} x)}{dx} }$

$\bf \purple{ \frac{dy}{dx} =2( \frac{1}{1 + {x}^{2} } )} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \green{(( {tan}^{ - 1} x) = \frac{1}{1 + {x}^{2} } )}$

$\bf \huge \pink{ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + {x}^{2} }}$

Answer 2

Answer

dy/dx = 2/1+x²

Given

$\bullet \;\; \rm y=sin^{-1}\bigg( \dfrac{2x}{1+x^2}\bigg)$

To Find

$\bullet \;\; \rm \dfrac{dy}{dx}$

Solution

$\rm y=sin^{-1}\bigg(\dfrac{2x}{1+x^2}\bigg)$

$\boxed{\begin{minipage}{4cm} \rm Let,x=tan\ \theta\ \\\\\rightarrow \theta=tan^{-1}x...(1) \end{minipage}}$

On sub. this in main eq. , we get ,

$\implies \rm y=sin^{-1}\bigg(\dfrac{2\ tan\theta }{1+tan^2\theta}\bigg)$

$\boxed{\begin{minipage}{3.5cm} \rm we\ know\ that,\\\\sin\ 2\theta=\dfrac{2\ tan\theta}{1+tan^2\theta}\end{minipage}}$

$\implies \rm y=sin^{-1}(sin\ 2\theta)\\\\\implies \rm y=2\theta\\\\\implies \rm y=2(tan^{-1}x)\ \; [\; From\ (1)\ ]\\\\\implies \rm y=2\ tan^{-1}x$

On differentiating with respect to x on both sides , we get ,

$\implies \rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(2\ tan^{-1}x)\\\\\implies \rm \dfrac{dy}{dx}=2\dfrac{d}{dx}(tan^{-1}x)$

$\boxed{\rm Since,\rm \dfrac{d}{dx}(tan^{-1}x)=\dfrac{1}{1+x^2}}$

$\implies \rm \dfrac{dy}{dx}=2\bigg( \dfrac{1}{1+x^2}\bigg)\\\\\implies \rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{1+x^2}$