Question

divide:-x⁴+x³+x²-5x+1 by x+1​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given expression is

$\red{\rm :\longmapsto\:\dfrac{ {x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} - 5x + 1}{x + 1}}$

So, we have

$\rm :\longmapsto\:Dividend : {x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} - 5x + 1$

$\rm :\longmapsto\:Divisor : x + 1$

Now, using Long Division, we have

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{gathered} \:\: \begin{array}{c|c} {\underline{\sf{}}}&{\underline{\sf{\:\: {x}^{3} + x - 6\:\:}}}\\ {\underline{\sf{x + 1}}}& {\sf{\: {x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} - 5x + 1\:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\:\: \: \:   -  {x}^{4} - {x}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:    \:  \:\:}} \\ {{\sf{}}}& {\sf{\:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:{x}^{2} - 5x + 1\:  \:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \: \:   - {x}^{2}  - x  \:  \: \:  \:  \:  \:  \: \:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  - 6x + 1  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:6x + 6\:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:7\:\:}}  \end{array}\end{gathered}\end{gathered}\end{gathered}$

So,

$\rm \implies\:Quotient : {x}^{3} + x - 6$

$\rm \implies\:Remainder : 7$

Verification

Consider

$\rm :\longmapsto\:Divisor \times Quotient + Remainder$

$\rm \:  =  \: (x + 1)( {x}^{3} + x - 6) + 7$

$\rm \:  =  \: {x}^{4} + {x}^{2} - 6x + {x}^{3} + x - 6 + 7$

$\rm \:  =  \: {x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} - 5x + 1$

$\rm \:  =  \: Dividend$

Hence, Verified

Answer 2

Solution :-

$p(x) = {x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} - 5x + 1$

$q(x) = {x}^{3} + {x}^{ - 6}$

$r(x) = 7$

$9(x) = x + 1$

Putting value :-

$p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$

$p(x) = ( {x}^{3} + x - 6)(x + 1)$

${x}^{4} + {x}^{3} + x {}^{2} + x - 6x - 6 + 7$