Question

do the question of attachment..​

Answer 1

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: QUESTION \: \: } \mid}}}}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{If \: \: the \: \: n \: \: number \: \: of \: \: little \: \: droplets \: \: of \: \: water \: \: } \\ \sf{of \: \: surface \: \: tension \: \: S \: \: all \: \: of \: \: the \: \: same \: \: radius \: \: r \: cm \: \: } \\ \sf{combine \: \: to \: \: form \: \: a \: \: single \: \: drop \: \: of \: \: radius \: \: R \: cm,} \\ \sf{ show \: \: that, \: the \: \: rise \: \: in \: \: temperature \: \: of \: \: the \: \: water \: \:} \\ \sf{ is \: \: given \: \: by \: \: \triangle \theta = \frac{3T}{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )}$

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION \: \: } \mid}}}}}$

$\underline{ \mathfrak{ \: Suppose, \: }} \\ \\ \: \: \text{ \red{n} be the number of little droplets.} \\ \text{As, volume will remain constant, so,} \\ \\ \therefore \: \text{Volume of n little droplets = Volume} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \text{ of single drop} \\ \\ \tt{\implies n \times \frac{3}{4} \pi \: r{}^{3} = \frac{3}{4} \pi \: R{}^{3}} \\ \\ \tt{\implies \: \pink{n \times r{}^{3} = R{}^{3}}}$

$\underline{ \mathfrak{ \: And , \: }}\\ \\ \bold{Decrease \: \: in \: \: surface \: \: area = n \times 4 \pi \: r{}^{2} - 4\pi \: R{}^{2} }\\ \\ \bold{ \implies \triangle \: A = 4\pi(nr {}^{2} - R {}^{2} )} \\ \\ \bold{\implies \triangle \: A = 4\pi( \frac{nr {}^{3} }{r} - R {}^{2} )} \\ \\ \bold{\implies \triangle \: A = 4\pi( \frac{R {}^{3} }{r} - R {}^{2} ) }\\ \\ \bold{\implies \pink{\triangle \: A = 4\pi \: R {}^{3} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )}}$

$\underline{ \mathfrak{ \: Again, \: }}\\ \\ \: \: \: \: \tt{Energy \: evolved, W = T \times decrease \: \: in \: \: } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{surface \: \: area }\\ \\ \tt{ \implies \: W = T \times 4\pi \: R {}^{3} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )} \\ \\ \tt{ \implies \: \pink{W = 4\pi \: R {}^{3} T ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )}}$

$\bold{ \therefore \: Heat \: \: produced, Q = \frac{W}{J} }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{ = \frac{4\pi \: R {}^{3} T ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )}{J} }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{= \frac{4\pi \: R {}^{3} T }{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{ \therefore \: \pink{Q= \frac{4\pi \: R {}^{3} T }{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )} }$

$\text{But,} \\ \\ \: \: \: \: \boxed{ \tt{ \pink{Q= MS \: \triangle \theta}}} \\ \\ \text{where \red{M} is the mass of big drop \red{S} is the specific } \\ \text{heat of water and \: } \red{\triangle \theta} \: \: \text{is the rise in temperature.}$

$\tt{ \therefore \: Volume \: \: of \: \: big \: \: drop \times Density \: \: of \: \: water \times} \\ \tt{ Sp. heat \: \: of \: \: water \times \triangle \theta = \frac{4\pi \: R {}^{3} T }{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )} \\ \\ \tt{\implies \: \frac{4}{3} \pi \: R {}^{3} \times 1 \times 1 \times \triangle \theta = \frac{4\pi \: R {}^{3} T }{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )} \\ \\ \tt{ \implies \: \frac{4}{3} \pi \: R {}^{3} \times \triangle \theta = \frac{4\pi \: R {}^{3} T }{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} )} \\ \\ \tt{\implies \: \triangle \theta =\frac{ \cancel{4} \: \cancel{\pi \: R{}^{3} } \: T }{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \times \frac{3}{ \cancel{4} } \times \frac{1}{\cancel{ \pi \: R {}^{3}}} } \\ \\ \tt{\implies \: \pink{ \triangle \theta = \frac{3T}{J} ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \bold{ \: \: Hence, showed. \: \: }}$