Question

एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय
है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए:
P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB , यदि और केवल यदि A ⊂ B है। क्‍या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

Answer 1

Given : एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय  है,

To find :    P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए:

Solution :

समुच्चय A  पर  परिभाषित संबंध R ;

(i)  स्वतुल्य  (reflexive)   - कहलाता है यदि प्रत्येक  a ∈ A  के   लिए   (a , a) ∈ R

(ii)  सममित (symmetric) कहलाता है यदि  समस्त    a₁ , a₂ ∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R  से   (a₂ , a₁ ) ∈ R  प्राप्त हो

(iii) संक्रामक  (transitive)   कहलाता है यदि  समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R   तथा    (a₂ , a₃ ) ∈ R  से    (a₁ , a₃ ) ∈ R  प्राप्त हो

यदि   संबंध R  स्वतुल्य , सममित   तथा  संक्रामक  हो  =>  सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध

X = { 1 , 2 . 3  }

P ( X ) =  X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय  है,

=> P(X) = { ∅ , 1  , 2  , 3 , ( 1, 2)  . ( 1 , 3) , ( 2, 3) , ( 1, 2 , 3 ) }

ARB    A ⊂ B

1 ⊂ ( 1, 2)

a ⊂ a

=> प्रत्येक  a ∈ R  के   लिए   (a , a) ∈ R

=> संबंध स्वतुल्य    है

A ⊂ B ∈ R

B ⊂ A ∉ R

सममित (symmetric) नहीं    है

A ⊂ B ∈ R

B ⊂ C ∈ R

=> A ⊂ C ∈ R

=> संक्रामक है

सममित (symmetric) नहीं    है  => तुल्यता संबंध नहीं    है

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Answer 2

Step-by-step explanation:

आपका प्रश्न=>

एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। ‘निम्नलिखित तरह से P(X) में एक सम्बन्ध R परिभाषित कीजिए-

P(x) में उपसमुच्चयों, A, B के लिए ARB, यदि और केवल यदि A⊂B है। क्या R,P(X) में एक तुल्यता सम्बन्ध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

हल:-

(i) यहाँ A ⊂ A ⇒ R स्वतुल्य है। .

(ii) A ⊂ B, B ⊄ A ⇒ R सममित नहीं है।

(iii) A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C ⇒ R संक्रामक है।

अतः R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।