Question

एक परिमेय व्यंजक लिखिए जिसमें अंश एक द्विघात बहुपद जिसके शून्य 1 और - 1 हैं तथा हर एक त्रिघात बहुपद है जिसके शुन्य 2 ,3 तथा 4 है

Answer 1

☛ व्यंजक का अंश एक बहुपद है जिसके शून्य 1 व -1 हैं।
∴ शून्य 1 व -1 के लिए द्विघात समीकरण होगा:



☛ (x – 1)[x – (-1)] = 0
⇒ (x – 1)(x + 1) = 0
⇒ x² + x – x – 1 = 0
⇒ x² – 1 = 0

∴ बहुपद (x² – 1) परिमेय व्यंजक का अंश होगा।

इसी प्रकार,

☛ व्यंजक का हर एक बहुपद है जिसके शून्य 2, 3 व 4 हैं


।☛ शून्य 2, 3 व 4 के लिए त्रिघात समीकरण होगा:


☛ (x – 2)(x – 3)(x – 4) = 0
⇒ (x² – 3x – 2x + 6)(x – 4) = 0
⇒ (x² – 4x + 6)(x – 4) = 0
⇒ x³ – 4x² – 5x² + 20x + 6x – 24 = 0
⇒ x³ – 9x² + 26x – 24 = 0

∴ बहुपद (x³ – 9x² + 26x – 24) परिमेय व्यंजक का हर होगा।

अतः अभीष्ट परिमेय व्यंजक (x² – 1)/(x³ – 9x² + 26x – 24) है।

Answer 2

हल-


1 और - 1 शून्य वाला द्विघात बहुपद

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \alpha (x - 1)(x + 1)$


तथा 2,3 तथा 4 शून्य वाला बहुपद

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \beta (x - 2)(x - 3)(x - 4)$

तब, परिमेय व्यंजक
$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{ \alpha (x - 1)(x + 1)}{ \beta (x - 2)(x - 3)(x - 4)} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{ \alpha ( {x}^{2} - 1)}{ \beta ( {x}^{3} - {9x}^{2} + 26x - 24) } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = k. \: \: \: \frac{( {x}^{2} - 1) }{ ({x}^{3} - {9x}^{2} + 26x - 24) }$


जहां $k \: \: \: = \frac{ \alpha }{ \beta } ≠ \: 0$