Question

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $DM = CM$ है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति 7.23)। दर्शाइए कि
(i) $\Delta AMC \cong \Delta BMD$
(ii) $\angle DBC$ एक समकोण है।
(iii) A DBC = A ACB
(iv) CM = AB (iii) $\Delta DBC \cong \Delta ACB$
(iv) $CM = \frac{1}{2} AB$

Answer 1

Step-by-step explanation:

दिया है :  

एक समकोण त्रिभुज ∆ABC,  ∠C = 90°  तथा  M , AB का मध्य-बिंदु है i.e, AM = MB & DM = CM.

 

सिद्ध करना है :  

i) ΔAMC ≅ ΔBMD

ii) ∠DBC एक समकोण है।

(iii) ΔDBC ≅ ΔACB  

(iv) CM = ½  AB

 

उपपत्ति :

(i) ΔAMC  तथा ΔBMD में,

AM = BM                      ( M, AB का मध्य-बिंदु है )

∠CMA = ∠DMB                (शीर्षाभिमुख कोण)  

CM = DM                                     (दिया है)

∴ ΔAMC ≅ ΔBMD            (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )

 

ii) चूंकि, ΔAMC ≅ ΔBMD सर्वांगसम हैं , तब CPCT द्वारा AC = DB …….(1) तथा∠ACM = ∠BDM   जो कि एकांतर अंतः कोण है।

∴ AC || BD  

अब , AC || BD  तथा BC तिर्यक रेखा है।

∴ ∠ACB + ∠DBC = 180°              

⇒ 90° + ∠B = 180°

⇒ ∠DBC = 90°

अतः, ∠DBC = 90°

 

(ii)  ΔDBC &  ΔACB में,  

BC = CB      (उभयनिष्ठ)

∠ACB = ∠DBC       (90°)

DB = AC     [समी ( i) से]

∴ ΔDBC ≅ ΔACB  (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )

 

 

(iii)  चूंकि ΔDBC ≅ ΔACB सर्वांगसम हैं ,तब CPCT द्वारा DC = AB                                              ⇒ DM + CM = AB

[CD = CM + DM]

⇒ CM + CM = AB

[दिया है :  CM = DM ]

⇒ 2CM = AB

अतः,  CM = 1/2AB

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।

इस पाठ से संबंधित कुछ और प्रश्न :

AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि $\angle BAD = \angle ABE$ और $\angle EPA = \angle DPB$ है। (देखिए आकृति 7.22)। दर्शाइए कि (i) $\Delta DAP \cong \Delta EBP$

(ii) $AD = BE$

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आकृति 7.21 में, $AC = AE$, $AB = AD$ और $\angle BAD = \angle EAC$ है। दर्शाइए कि $BC = DE$ है।

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