Question

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup PQR.$ है।

Answer 1

दिया गया है कि, $\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}=\frac{AD}{PM}$

हमें दर्शाना है : $\triangle{ABC}\sim\triangle{PQR}$

प्रमाण : अब त्रिभुज ABC में AD को E तक इस तरह बढ़ाया गया कि AD = DE तथा E को B तथा C से मिलाया गया। उसी तरह त्रिभुज PQR में, PM = ML खींचा गया तथा L को Q तथा R से मिलाया गया।

प्रश्न के अनुसार AD तथा PM माध्यिकाएँ हैं,

अत: BD = DC तथा QM = MR तथा बनाबट के अनुसार,

AD = DE तथा PM = ML

अब चतुर्भुज ABED में,

हम देख रहे हैं कि , विकर्ण AE तथा BC एक दूसरे को D बिन्दु पर समद्विभाजित करते हैं,

अत: ABED एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: AC = BE तथा AB = EC

[चूँकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने की भुजा बराबर होती हैं]

उसी प्रकार PQLR भी एक समांतर चतुर्भुज है तथा PR = QL तथा PQ = LR

अब प्रश्न के अनुसार,

AB/PQ=AC/PR=AD/PM

⇒AB/PQ=BE/QL=(2⋅AD)/(2⋅PM)

⇒AB/PQ=BE/QL=AE/PL

अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के आधार पर,

$\Delta{ABE}\sim\Delta{PQL}$

अत: ∠BAE=∠QPL --------- (i)

[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]

उसी प्रकार, सिद्ध किया जा सकता है, कि

$\Delta{AEC}\sim\Delta{PLR}$

अत: ∠CAE = ∠RPL ------------ (ii)

[चूँकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]

अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर,

∠BAE+∠CAE=∠QPL+∠RPL

⇒∠CAB=∠RPQ --------- (iii) [ चित्र को ध्यान से देखें]

अब त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज PQR में,

प्रश्न के अनुसार,

AB/PQ=AC/PR

तथा समीकरण (iii) से ⇒∠CAB=∠RPQ

अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के आधार पर,

$\triangle{ABC}\sim\triangle{PQR}$.

Answer 2

Answer:

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