Question

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)। दर्शाइए कि $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup PQR.$ है।

Answer 1

दिया गया है : एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं।
अर्थात, $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AD}{PM}$.....(1)

हमें दर्शाना है : $\triangle ABC \sim\triangle PQR.$

प्रमाण : प्रश्न से, दिया गया है कि $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AD}{PM}$
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज की माध्यिका जिस भुजा पर खींची जाती है माध्यिका उस भुजा को दो बराबर भागो में बांट देता है ।
अर्थात, BD = DC = BC/2 और, QM = MR = QR/2

अब, $\frac{AB}{PQ}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}QR}=\frac{AD}{PM}$

$\implies\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$

अतः SSS (भुजा-भुजा-भुजा) के कसौटी के आधार पर,
$\triangle{ABD}\sim\triangle{PQM}$
इसीलिए, $\angle{ABD}=\angle{PQM}$
और प्रश्न से दिया गया है , $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}$
SAS(भुजा-कोण-भुजा) के कसौटी के आधार पर,
$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup PQR.$