Question

Evaluate lim x~pi/2 (tan2x/x -pi/2)

Answer 1

❏QuesTion :-

$\rm Evaluate \: \: \: \lim_{x \to \frac{ \pi}{2} } \frac{ \tan2x}{x - \frac{ \pi}{2} } \:$

❏Answer :-

$\mapsto \: \boxed{ \rm \lim_{x \to \frac{ \pi}{2} } \frac{ \tan2x}{x - \frac{ \pi}{2} } \: = 2} \:$

❏Used Limit property :-

$\implies \boxed{ \rm \: \lim_{} \frac{ \tan \: h }{h} \: = 1}$

❏Solution :-

We have ,

$\mapsto \: \rm \: \lim_{x \to \frac{ \pi}{2} } \frac{ \tan2x}{x - \frac{ \pi}{2} } \: \\ \: \\ \rm \: let \: t = x - \frac{ \pi}{2} \\ \rm hence \\ \\ \to \rm t + \frac{ \pi}{2} = x \\ \\ \rm replace \: these \: in \: given \: limit \\ \\ \mapsto \: \: \lim_{x \to \frac{ \pi}{2} } \frac{ \tan2x}{x - \frac{ \pi}{2} } \: \\ \\ \rm \: after \: replacing \: these \\ \\ \mapsto \rm \lim_{t \to 0 } \frac{ \tan2( \frac{ \pi}{2} + t)} {t } \: \\ \: \\ \because \rm \: x \to \: \frac{ \pi}{2} \\ \therefore \rm \: t\to \: \frac{ \pi}{2} - \frac{ \pi}{2} \to \: 0 \\ \\ \mapsto \rm \: \lim_{t \to 0 } \frac{ \tan( { \pi} + 2t)} {t } \: \\ \\ \sf multiply \: and \: divide \: by \: 2 \\ \\ \mapsto \: \rm \lim_{t \to 0 } \: 2 \frac{ \tan( { \pi} + 2t)} {2t } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \because \: \: \rm \: \tan( \pi + \theta) = \tan \theta } \\ \\ \mapsto \: \rm \lim_{t \to 0 } \: \: 2 \frac{ \tan( 2t)} {2t } \\ \: \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \because \: \boxed{ \rm \: \lim_{} \frac{ \tan \: h }{h} \: = 1} \\ \: \\ \mapsto \: \rm \lim_{t \to 0 } \: \: 2 \: \times 1 \\ \\ \sf taking \: limit \: \\ \\ \mapsto \: 2 \: \\ \\ \: \mapsto \: \boxed{ \rm \lim_{x \to \frac{ \pi}{2} } \frac{ \tan2x}{x - \frac{ \pi}{2} } \: = 2}$