Question

Evaluate the product $(3\vec a-5\vec b). (2\vec a\ + 7\vec b)$.

Answer 1

Answer:

$\bf(3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}).(2\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})=6\:|\overrightarrow{a}|^2+11\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-35\:|\overrightarrow{b}|^2$

Step-by-step explanation:

$(3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}).(2\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})$

Using, distributive laws

$\boxed{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}}$

$\boxed{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}}$

$=6\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+21\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-10\:\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-35\:\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

Using

$\boxed{\text{Scalar product is commutative }\implies\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}$

$\boxed{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2}$

$=6\:|\overrightarrow{a}|^2+21\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-10\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-35\:|\overrightarrow{b}|^2$

$=6\:|\overrightarrow{a}|^2+11\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-35\:|\overrightarrow{b}|^2$

$\implies\boxed{(3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}).(2\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})=6\:|\overrightarrow{a}|^2+11\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-35\:|\overrightarrow{b}|^2}$

Answer 2

Answer:-

$\mathbf{6\:|\vec{a}|^2+11\:\vec{a}.\vec{b}-35\:|\vec{b}|^2}}$

Step-by-step explanation:

$(3\vec{a}-5\vec{b}).(2\vec{a}+7\vec{b})$

Using, distributive laws

$\mathbf{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}}$

$\mathbf{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}}$

=$6\vec{a}.\vec{a}+21\:\vec{a}.\vec{b}-10\:\vec{b}.\vec{a}-35\:\vec{b}.\vec{b}$

Using

$\mathbf{\text{Scalar product is commutative }\implies\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}$

$\vec{a}.\vec{a}=|\vec{a}|^2$

=$6\:|\vec{a}|^2+21\:\vec{a}.\vec{b}-10\:\vec{a}.\vec{b}-35\:|\vec{b}|^2$

= $6\:|\vec{a}|^2+11\:\vec{a}.\vec{b}-35\:|\vec{b}|^2$

$\mathbf{\implies(3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}) (2\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})=6\:|\overrightarrow{a}|^2+11\:\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-35\:|\overrightarrow{b}|^2}$