Question

Ex. 1) Prove the following:
i) sin 40° - cos 70º = √3
cos 80°​

Answer 1

$cos</p><p>80</p><p>∘</p><p>−</p><p>cos</p><p>40</p><p>∘</p><p>+</p><p>√</p><p>3</p><p>cos</p><p>70</p><p>∘</p><p>=</p><p>?</p><p> </p><p></p><p>cos</p><p>A</p><p>−</p><p>cos</p><p>B</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>sin</p><p>(</p><p>A</p><p>+</p><p>B</p><p>2</p><p>)</p><p>sin</p><p>(</p><p>A</p><p>−</p><p>B</p><p>2</p><p>)</p><p></p><p>cos</p><p>80</p><p>∘</p><p>−</p><p>cos</p><p>40</p><p>∘</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>sin</p><p>(</p><p>80</p><p>∘</p><p>+</p><p>40</p><p>∘</p><p>2</p><p>)</p><p>sin</p><p>(</p><p>80</p><p>∘</p><p>−</p><p>40</p><p>∘</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>sin</p><p>60</p><p>∘</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p>=</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p></p><p>Let's plug this in:</p><p></p><p>cos</p><p>80</p><p>∘</p><p>−</p><p>cos</p><p>40</p><p>∘</p><p>+</p><p>√</p><p>3</p><p>cos</p><p>70</p><p>∘</p><p>=</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p>+</p><p>√</p><p>3</p><p>cos</p><p>70</p><p>∘</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>(</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p>−</p><p>cos</p><p>70</p><p>∘</p><p>)</p><p></p><p>cos</p><p>θ</p><p>=</p><p>sin</p><p>(</p><p>π</p><p>2</p><p>−</p><p>θ</p><p>)</p><p> </p><p></p><p>cos</p><p>70</p><p>∘</p><p>=</p><p>sin</p><p>(</p><p>90</p><p>∘</p><p>−</p><p>70</p><p>∘</p><p>)</p><p>=</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p> </p><p></p><p> \\ Let's \: plug \: this \: in:</p><p></p><p>cos</p><p>80</p><p>∘</p><p>−</p><p>cos</p><p>40</p><p>∘</p><p>+</p><p>√</p><p>3</p><p>cos</p><p>70</p><p>∘</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>(</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p>−</p><p>cos</p><p>70</p><p>∘</p><p>)</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>(</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p>−</p><p>sin</p><p>20</p><p>∘</p><p>)</p><p>=</p><p>0</p><p></p><p>$

Answer 2

We have to prove that:

$\sin 40 - \cos 70=\sqrt{3} \cos 80$

L.H.S. = $\sin 40 - \cos 70$

Using the trigonometric identity:

 $\cos A = \sin (90-A )$

= $\sin 40 - \cos (90-20)$

= $\sin 40 - \sin 20$

Using the trigonometric identity:

$\sin C - \sin D=2\cos \dfrac{C+D}{2} \sin \dfrac{C-D}{2}$

$=2\cos \dfrac{40+20}{2} \sin \dfrac{40-20}{2}$

$=2\cos \dfrac{60}{2} \sin \dfrac{20}{2}$

$=2\cos 30 \sin 10$

$=2(\dfrac{\sqrt{3} }{2} ) \sin (90-80)$

$=\sqrt{3} \cos80$

= R.H.S., proved.

Thus, $\sin 40 - \cos 70=\sqrt{3} \cos 80$, proved.