Question

Ex.2. Solve (D^2- 8D+9) y = 8 sin 5x
​

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\mathsf{(D^2-8D+9)y=8\,sin5x}$

$\underline{\textsf{To find:}}$

$\textsf{The general solution of the differential equation}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{D^2-8D+9=0}$

$\textsf{Characteristic equation is}$

$\mathsf{m^2-8m+9=0}$

$\mathsf{(m-9)(m+1)=0}$

$\mathsf{m=-1,9}$

$\textsf{Complementary function is}$

$\mathsf{Ae^{(-1)x}+Be^{9x}}$

$\textsf{Particular integral}$

$\mathsf{=\dfrac{8\;sin5x}{D^2-8D+9}}$

$\mathsf{=\dfrac{8\;sin5x}{-25-8D+9}}\;\;\;(D^2\implies\,-25)$

$\mathsf{=\dfrac{8\;sin5x}{-16-8D}}$

$\mathsf{=\dfrac{8\;sin5x}{-8(D+2)}}$

$\mathsf{=\dfrac{-sin5x}{D+2}}$

$\mathsf{=\dfrac{-sin5x}{D+2}{\times}\dfrac{D-2}{D-2}}$

$\mathsf{=\dfrac{-sin5x(D-2)}{D^2-4}}$

$\mathsf{=\dfrac{-sin5x(D-2)}{D^2-4}}$

$\mathsf{=\dfrac{D(-sin5x)+2\,sin5x}{D^2-4}}$

$\mathsf{=\dfrac{-5\,cos5x+2\,sin5x}{-25-4}}$

$\mathsf{=\dfrac{-5\,cos5x+2\,sin5x}{-29}}$

$\mathsf{=\dfrac{5\,cos5x-2\,sin5x}{29}}$

$\therefore\textsf{The general solution is}$

$\mathsf{y=}\,\textsf{Complementary function + Particular integral}$

$\implies\boxed{\mathsf{y=Ae^{-x}+Be^{9x}+\dfrac{5\,cos5x-2\,sin5x}{29}}}$

Find more:

Solve (D3+3D2+3D+1)y = 5​

https://brainly.in/question/23611338

​