Question

express[1 2 and 3 4] as the sum of symmetric and skew symmetric matrix​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\mathsf{Express\;\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)\;as\;sum\;of\;}$

$\textsf{symmetric and skew symmetric matrix}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Let\;A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{P=\dfrac{1}{2}(A+A^T)}$

$\mathsf{P=\dfrac{1}{2}\left[\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}\right)\right]}$

$\mathsf{P=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2&5\\5&8\end{array}\right)}$

$\mathsf{P^T=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2&5\\5&8\end{array}\right)}$

$\mathsf{P^T=P}$

$\implies\textsf{P is symmetric}$

$\mathsf{Q=\dfrac{1}{2}(A-A^T)}$

$\mathsf{Q=\dfrac{1}{2}\left[\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}\right)\right]}$

$\mathsf{Q=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)}$

$\mathsf{Q^T=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right)}$

$\mathsf{Q^T=-\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)}$

$\mathsf{Q^T=-Q}$

$\implies\textsf{Q is skew symmetric}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{P+Q}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2&5\\5&8\end{array}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}\right)}$

$\mathsf{=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)}$

$\implies\mathsf{\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)=P+Q}$

$\implies\boxed{\mathsf{\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)=Symmetric\;matrix+Skew\;symmetric\;matrix}}$