Question

express 1+cos(alpha)+isin(alpha) in modulus amplitude form

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{1+cos\,\alpha+i\,sin\,\alpha}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Modulus amplitude form of}$

$\mathsf{1+cos\,\alpha+i\,sin\,\alpha}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Concept used:}}$

$\textsf{Modulus amplitude form of a complex number z is}$

$\mathsf{z=r\,[cos\,\theta+i\,sin\theta]}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{1+cos\,\alpha+i\,sin\,\alpha}$

$\textsf{using the identities,}$

$\boxed{\begin{minipage}{4cm} \\cosA=2\,cos^2\frac{A}{2}-1\\\\sin\,A=2\,sin\frac{A}{2}\;cos\frac{A}{2}\\ \end{minipage}}$

$\mathsf{=2\,cos^2\dfrac{\alpha}{2}+i\,2\,sin\dfrac{\alpha}{2}\,cos\dfrac{\alpha}{2}}$

$\mathsf{=2\,cos\dfrac{\alpha}{2}\,\left[cos\dfrac{\alpha}{2}+i\,sin\dfrac{\alpha}{2}\right]}$

$\implies$

$\mathsf{Modulus\;of\;1+cos\,\alpha+i\,sin\,\alpha=2\,cos\dfrac{\alpha}{2}}$

$\mathsf{Amplitude\;of\;1+cos\,\alpha+i\,sin\,\alpha=\dfrac{\alpha}{2}}$