Question

express complex number -4+4√3i in polar form.

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{-4+i\,4\sqrt{3}}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Polar form of}\;\mathsf{-4+i\,4\sqrt{3}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Let\;-4+i\,4\sqrt{3}=r(cos\,\theta+i\,sin\,\theta)}$

$\implies\mathsf{-4+i\,4\sqrt{3}=r\;cos\,\theta+i\,r\,sin\,\theta}$

$\textsf{Equating real and imaginary parts on bothsies}$

$\mathsf{we\;get}$

$\mathsf{r\,cos\theta=-4\;\;\&\;\;r\,sin\theta=4\sqrt{3}}$

$\textsf{Squaring and adding, we get}$

$\mathsf{r^2cos^2\theta+r^2sin^2\theta=16+84}$

$\mathsf{r^2(cos^2\theta+sin^2\theta)=64}$

$\mathsf{r^2(1)=64}$

$\mathsf{r^2=64}$

$\mathsf{r=8}$

$\mathsf{Also,}$

$\mathsf{cos\,\theta=\dfrac{-4}{8}=\dfrac{-1}{2}}$

$\mathsf{sin\,\theta=\dfrac{4\sqrt{3}}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

$\mathsf{Since\;sin\theta\;is\;positive\;\&\;cos\theta\;is\;negative,}$

$\mathsf{\theta\;lies\;in\;second\;quadrant}$

$\mathsf{cos\,\theta=\dfrac{-1}{2}}$

$\mathsf{-cos\,\theta=\dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{-cos\,\theta=cos\,60^\circ}$

$\mathsf{cos(180^\circ-\theta)=cos\,60^\circ}$

$\implies\mathsf{180^\circ-\theta=60^\circ}$

$\implies\mathsf{180^\circ-60^\circ=\theta}$

$\implies\mathsf{\theta=120^\circ}$

$\therefore\textsf{The polar form of the complex number is}$

$\boxed{\bf\,-4+i\,4\sqrt{3}i=8(cos\,120^\circ+i\,sin\,120^\circ)}}$