Question

express the complex number i¹⁸+(l/i)²⁵ on the form a+ib​

Answer 1

Step-by-step explanation:

We have,

$z = {i}^{18} + \frac{1}{i^{25} }$

$\implies \: z = {i}^{4 \times 4 + 2} + \frac{1}{ {i}^{4 \times 6 + 1} }$

$\implies \: z = - 1 + \frac{1}{i}$

$\implies \: z = - 1 + \frac{i}{ {i}^{2} }$

$\implies \: z = - 1 - i$

Answer 2

Correct Question :

• Express the complex number $\sf \: \left(i {}^{18} + ( \dfrac{1}{i}) {}^{25} \right) {}^{3}$on the form a+ib.

Explanation :

$\longrightarrow \sf \: \left(i {}^{18} + ( \dfrac{1}{i}) {}^{25} \right) {}^{3}$

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$\longrightarrow \sf \bigg( i {}^{28} + \dfrac{1}{i {}^{25} } \bigg) {}^{3}$

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$\longrightarrow \sf \: \bigg((i {}^{2} ) {}^{9} + \dfrac{1}{(i)(i {}^{2} ) {}^{12} } \bigg) {}^{3}$

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$\because \boxed{ \sf\red{ i {}^{2} = - 1}}$

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$\longrightarrow \sf \bigg( ( - 1) {}^{9} + \dfrac{1}{ i\times ( - 1) {}^{ 12} } \bigg) {}^{3}$

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$\longrightarrow \sf \bigg( - 1 + \dfrac{1}{i} \bigg) {}^{3}$

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$\longrightarrow \sf \bigg( - 1 + \dfrac{1}{i} \times \frac{i}{ i} \bigg) {}^{3}$

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$\longrightarrow \sf \bigg( - 1 + \dfrac{i}{i {}^{2} } \bigg) {}^{3}$

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$\because \boxed{ \sf\red{ i {}^{2} = - 1}}$

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$\longrightarrow \sf \bigg( - 1 + \dfrac{i}{ - 1} \bigg) {}^{3}$

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$\longrightarrow \sf \bigg( - 1 - i \bigg) {}^{3}$

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$\longrightarrow \sf - \bigg(1 + i \bigg) {}^{3}$

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$\because \boxed{ \sf \red{(a + b ) {}^{3} = a {}^{3} + 3a {}^{2} b + 3ab {}^{2} + b {}^{3} }}$

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$\longrightarrow \sf \: - \bigg(1 {}^{3} + 3 \times 1 {}^{2} \times i + 3 \times 1 \times i {}^{2} + i {}^{3} \bigg)$

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$\longrightarrow \sf \: - \bigg(1 + 3i + 3i {}^{2} + i {}^{2}(i) \bigg)$

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$\longrightarrow \sf \: - \bigg( 1 + 3i + 3 \times - 1 + - 1 \times i\bigg)$

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$\longrightarrow \sf \: - \bigg(1 + 3i - 3 - i \bigg) \\ \\ \\ \longrightarrow \sf \: - \bigg( - 2 + 2i \bigg)$

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$\longrightarrow \boxed{ \sf \blue{2 - 2i} }$