f(_2)=0 হলে দেখাও যে √k একটি আমূলদ সংখ্যা
Answers
Step-by-step explanation:
সূচনা (Introduction) :-
গণিতে আমরা সাধারণত পাটিগণিত, বীজগণিত, জ্যামিতি, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি সম্পর্কে শিখেছি । এদের মধ্যে বিষয়গত কিছু পার্থক্য থাকলেও এইসব বিষয়ের আলোচনা মূলত সংখ্যা ও গণিতের মূলত চারটি প্রক্রিয়াকে (অর্থাৎ যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ) ভিত্তি করে গড়ে উঠেছে । কলনবিদ্যায় সংখ্যা ও চারটি মূলগত প্রক্রিয়া ছাড়াও নতুন ধারণা (অসীম, অপেক্ষক ও সীমার ধারণা) প্রয়োগ করা হয় । এই নতুন মূলগত ধারণা গুলি একটি সংখ্যাশ্রেণিকে ভিত্তি করে গড়ে উঠেছে । এই সংখ্যাশ্রেণিকে বাস্তব সংখ্যাশ্রেণি বলা হয় । এই সংখ্যা শ্রেণির সাহায্যে যেকোনো দৈর্ঘ্য পরিমাপ সম্ভব এবং এর মধ্যে গণিতের মূলত চারটি প্রক্রিয়া (অর্থাৎ যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ) প্রয়োগ করা যায় ও প্রক্রিয়াগুলির সাপেক্ষে সংখ্যশ্রেণিটি বদ্ধ (closed), অর্থাৎ প্রক্রিয়াগুলির প্রয়োগে যে ফল পাওয়া যায় তা ওই সংখ্যশ্রেণির অন্তর্গত হয় ।
সংখ্যা (Number)
উচ্চতর গণিতে সংখ্যা সম্পর্কে বিস্তারিত ভাবে আলোচনা করা হয়েছে এখানে আমরা শুধুমাত্র কলনবিদ্যায় প্রয়োজনীয় বিষয় সম্পর্কে আলোচনা করবো।
real number
স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)
সংজ্ঞা (Definition) :- বস্তুসমূহ গণনার প্রয়োজনে 1 , 2 , 3 , 4 , ........... সংখ্যা সমূহের উৎপত্তি হয় এবং এইসব সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয় ।
স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা সূচিত করা হয় , অর্থাৎ
N={1,2,3,4.............} অথবা N = { x : x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা }
যে স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এবং ওই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় তাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বলে । যেমন 2, 3, 5, 7, 11 ইত্যাদি । এই সমস্ত সংখ্যাগুলি 1 ও ওই সংখ্যা ব্যাতিত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজিত হয় না । অন্যভাবে যে স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এবং ওই সংখ্যা ব্যাতিত অন্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয় তাকে যৌগিক সংখ্যা (Composite Number) বলে । যেমন 4, 6, 10 ইত্যাদি । 4 সংখ্যাটি 1, 2 এবং 4; 6 সংখ্যাটি 1, 2, 3 এবং 6 ও 10 সংখ্যাটি 1, 2, 5 এবং 10 দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ 1 এবং ওই সংখ্যা ছাড়াও অন্যান্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজিত হয়েছে । দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে যদি 1 ব্যাতিত অন্য কোনো উৎপাদক না থাকে তবে সংখ্যা দুটিকে পরস্পরের মৌলিক সংখ্যা (Prime to each other) বলে । যেমন 4 এবং 9 এরা পরস্পরের মৌলিক সংখ্যা কারণ এরা নিজেরা মৌলিক সংখ্যা না হলেও এদের মধ্যে 1 ব্যাতিত আর অন্য কোনো উৎপাদক নেই ।
স্পষ্টত দেখা যাচ্ছে যে যোগ ও গুণ প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে স্বাভাবিক সংখ্যা বদ্ধ, অর্থাৎ দুই বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল অথবা গুণফল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয় (যেমন 4 + 7 = 11 এবং 4×7=28) । কিন্তু বিয়োগ বা ভাগের ক্ষেত্রে স্বাভাবিক সংখ্যা বদ্ধ নয়, অর্থাৎ দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে বিয়োগফল বা ভাগফল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নাও হতে পারে (যেমন 4 - 7 = -3 এবং 4÷7=
4
7
) ।
পূর্ণসংখ্যা বা অখন্ড সংখ্যা (Integers)
সংজ্ঞা (Definition) :- স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সঙ্গে 0, -1, -2, -3, ..........সংখ্যা সমূহের সংযোজন করে যেসব সংখ্যা পাওয়া যায় তাদের পূর্ণসংখ্যা বা অখন্ড সংখ্যা (Integers) বলে ।
পূর্ণসংখ্যার সেটকে সাধারণত I দ্বারা সূচিত করা হয় ; অর্থাৎ
I={0,±1,±2,.............} অথবা I = {a : a একটি পূর্ণসংখ্যা}
পূর্ণসংখ্যা সেটের 1, 2, 3, .......... সংখ্যাগুলিকে বলা হয় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Positive Integers) এবং -1, -2, -3, .......... সংখ্যাগুলিকে বলা হয় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative Integers) । ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে I+ এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে I− দ্বারা সূচিত করা হয় । অর্থাৎ
I+={1,2,3,..........};I−={−1,−2,−3,.........}
যেসমস্ত পূর্ণসংখ্যা দুই দ্বারা বিভাজ্য তাদের জোড় বা যুগ্ম পূর্ণসংখ্যা (even integer) বলা হয় । যেমন ±2,±4,±6,......... . শূন্যকে একটি যুগ্ম সংখ্যা হিসাবে ধরা হয় । n যেকোনো একটি পূর্ণসংখ্যা হলে 2n সর্বদা যুগ্ম পূর্ণসংখ্যা হবে । যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা দুই দ্বারা বিভাজ্য হয় না তাদেরকে বিজোড় বা অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা (odd integer) বলা হয় । যেমন ±1,±3,±5,........ n যে কোনো পূর্ণসংখ্যা হলে (2n + 1) বা (2n - 1) সর্বদা অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা হবে ।
সহজেই বোঝা যায় যে যোগ, বিয়োগ এবং গুণ এর ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার সেট বদ্ধ । অর্থাৎ যোগ, বিয়োগ এবং গুণের ক্ষেত্রে যে ফল পাওয়া যায় তা পূর্ণসংখ্যা সেটের অন্তর্গত । কিন্তু ভাগের ক্ষেত্রে যে ভাগফল পাওয়া যায় তা সর্বদা পূর্ণসংখ্যা সেটের অন্তর্গত হয়না, যেমন 2÷3=
2
3
.
মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)
সংজ্ঞা ( Definition ):- p এবং q (≠0) দুটি পূর্ণ সংখ্যা হলে
p
q
আকারে প্রকাশিত সংখ্যা মূলদ সংখ্যা (Rational Number) বলে । এখানে p ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা শূন্য হতে পারে এবং q সর্বদা স্বাভাবিক সংখ্যা হবে ।
p ও q কে পরস্পরের মৌলিক ধরা হয় । অর্থাৎ 1 ব্যাতিত এদের মধ্যে অন্য কোনো উৎপাদক থাকবে না । যদি অন্য কোনো উৎপাদক থাকে তবে তা অপসারণ করে তাকে নিম্নরূপ আকারে প্রকাশ করা হয় । যেমন
5
1
,−
3
1
,
3
4
,
12
15
=
4
5
.