Question

FActorize 3x^2+4root3x+3

Answer 1

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Step-by-step explanation:

Domain of 3x^2+4√3x+3

$\begin{bmatrix}\mathrm{Solution:}\:&\:x\ge \:-1\:\\ \:\mathrm{Interval\:Notation:}&\:[-1,\:\infty \:)\end{bmatrix}$

Range of 3x^2+4√3x+3

$\begin{bmatrix}\mathrm{Solution:}\:&\:f\left(x\right)\ge \:3\:\\ \:\mathrm{Interval\:Notation:}&\:[3,\:\infty \:)\end{bmatrix}$

Extreme points  of  3x^2+4√3x+3

$\mathrm{Minimum}\left(-1,\:3\right)$

$\mathrm{Suppose\:that\:}x=c\mathrm{\:is\:a\:critical\:point\:of\:}f\left(x\right)\mathrm{\:then,\:}$

$\mathrm{If\:}f\:'\left(x\right)>0\mathrm{\:to\:the\:left\:of\:}x=c\mathrm{\:and\:}f\:'\left(x\right)<0\mathrm{\:to\:the\:right\:of\:}x=c\mathrm{\:then\:}x=c\mathrm{\:is\:a\:local\:maximum.}$

$\mathrm{If\:}f\:'\left(x\right)<0\mathrm{\:to\:the\:left\:of\:}x=c\mathrm{\:and\:}f\:'\left(x\right)>\:0\mathrm{\:to\:the\:right\:of\:}x=c\mathrm{\:then\:}x=c\mathrm{\:is\:a\:local\:minimum.}$

$\mathrm{If\:}f\:'\left(x\right)\mathrm{\:is\:the\:same\:sign\:on\:both\:sides\:of\:}x=c$

$\mathrm{\:then\:}x=c\mathrm{\:is\:neither\:a\:local\:maximum\:nor\:a\:local\:minimum.}$

$\mathrm{Vertex\:of}\:3x^2+4\sqrt{3}x+3:\quad \mathrm{Minimum}\space\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},\:-1\right)$

$\mathrm{The\:vertex\:of\:an\:up-down\:facing\:parabola\:of\:the\:form}\:y=ax^2+bx+c\:\mathrm{is}\:x_v=-\frac{b}{2a}$

$\mathrm{The\:parabola\:params\:are:}$

$a=3,\:b=4\sqrt{3},\:c=3$

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$x_v=-\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \:3}$

Simplify- $\frac{4\sqrt{3} }{2*3}$ $; -\frac{2\sqrt{3} }{3}$

$x_v=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Plug in $x_v = - \frac{2\sqrt{3} }{3}$ to find $y_v \ value$

$y_v=-1$

$\mathrm{Therefore\:the\:parabola\:vertex\:is}$

$\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},\:-1\right)$

$\mathrm{If}\:a<0,\:\mathrm{then\:the\:vertex\:is\:a\:maximum\:value}$

$\mathrm{If}\:a>0,\:\mathrm{then\:the\:vertex\:is\:a\:minimum\:value}$

$a = 3$

$\mathrm{Minimum}\space\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},\:-1\right)$