Find all the non isomorphic abelian groups of order 8
Answers
Step-by-step explanation:
Example.
(a) How many abelian groups of order n = 1800 are there?
(b) List them all.
Solution.
(a) First we factor n = 1800 = 233
25
2
. The possible partitions of the prime
factors are
p = 2: Z2 × Z2 × Z2, Z2 × Z2
2 , and Z2
3 . (3 different ways.)
p = 3: Z3 × Z3 and Z3
2 . (2 different ways.)
p = 5: Z5 × Z5 and Z5
2 . (2 different ways.)
There are exactly 3 · 2 · 2 = 12 structurally different abelian groups of order
n = 1800.
(b) We now form all 12 different combinations to form all possible elementary-
divisor-forms. Then we translate each group into invariant-factor-form:
Elementary-divisor-form Invariant-factor-form
Z2 × Z2 × Z2 × Z3 × Z3 × Z5 × Z5 Z2 × Z30 × Z30
Z2 × Z2 × Z2 × Z3 × Z3 × Z5
2 Z2 × Z6 × Z150
Z2 × Z2 × Z2 × Z3
2 × Z5 × Z5 Z2 × Z10 × Z90
Z2 × Z2 × Z2 × Z3
2 × Z5
2 Z2 × Z2 × Z450
Z2 × Z2
2 × Z3 × Z3 × Z5 × Z5 Z30 × Z60
Z2 × Z2
2 × Z3 × Z3 × Z5
2 Z6 × Z300
Z2 × Z2
2 × Z3
2 × Z5 × Z5 Z10 × Z180
Z2 × Z2
2 × Z3
2 × Z5
2 Z2 × Z900
Z2
3 × Z3 × Z3 × Z5 × Z5 Z15 × Z120
Z2
3 × Z3 × Z3 × Z5
2 Z3 × Z600
Z2
3 × Z3
2 × Z5 × Z5 Z5 × Z360
Z2
3 × Z3
2 × Z5
2 Z1800