Question

Find four consecutive terms in an A.P. whose sum is 36 and the product of the 2nd
and the 4th is 105. The terms are in ascending order.
​

Answer 1

$\underline{\underline{\huge{\gray{\tt{\textbf Answer :-}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Given :-}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• Sum of four consecutive terms in an A.P. is 36
• The product of the 2nd and the 4th is 105

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ To \: Find :-}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• The four consecutive terms

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Solution :-}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

We know that ,

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$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{Sum of n terms of AP :}}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

➠ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$ ⚊⚊⚊⚊ ⓵

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{Sum of AP in the given condition :}}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Given that , Sum of four consecutive terms in an A.P. is 36

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• $\sf S_n = 36$
• n = 4
• a = a
• d = d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the above values in ⓵ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf S_n = \dfrac { n } { 2 } (2a + (n - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 36 = \dfrac { 4}{ 2 } (2a + (4 - 1)d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 36 = 2(2a + 3d)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf \dfrac { 36 } { 2 } = 2a + 3d$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ 18 = 2a + 3d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ 2a + 3d = 18

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a = \dfrac { 18 - 3d } { 2 }$ ⚊⚊⚊⚊ ⓶

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{nth term of AP :}}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

➠ $\sf a_n = a + (n - 1)d$ ⚊⚊⚊⚊ ⓷

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{For 2nd term :}}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• $\sf a_n = a_2$
• a = a
• d = d
• n = 2

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the above values in ⓷ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_n = a + (n - 1)d$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_2 = a + (2 - 1)d$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_2 = a + d$ ⚊⚊⚊⚊ ⓸

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{For 4th term :}}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• $\sf a_n = a_4$
• a = a
• d = d
• n = 4

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the above values in ⓷ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_n = a + (n - 1)d$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_4 = a + (4 - 1)d$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_4 = a + 3d$ ⚊⚊⚊⚊ ⓹

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Given that , The product of the 2nd and the 4th is 105

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Thus ,

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

From ⓸ & ⓹

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: ➜ (a + 3d)(a + d) = 105

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ a(a + d) + 3d(a +d) = 105

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ a² + ad + 3ad + 3d² = 105

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ a² + 4ad + 3d² = 105 ⚊⚊⚊⚊ ⓺

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the value of 'a' from ⓶ to ⓺ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ a² + 4ad + 3d² = 105

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\footnotesize{ \sf \bigg(\dfrac { 18 - 3d } {2 }\bigg) ^2 + 4d\bigg(\dfrac { 18 - 3d } {2 }\bigg)+ 3d ^2 = 105}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\footnotesize{ \sf \bigg(\dfrac { 18 - 3d } {2 }\bigg)\bigg(\dfrac { 18 - 3d } {2 } + 4d\bigg) + 3d ^2 = 105}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\footnotesize{ \sf \bigg(\dfrac { 18 - 3d } {2 }\bigg)\bigg(\dfrac { 18 - 3d + 8d} {2 }\bigg) + 3d ^2 = 105 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\footnotesize{ \sf \bigg(\dfrac { 18 - 3d } {2 }\bigg)\bigg(\dfrac { 18 + 5d} {2 }\bigg) + 3d ^2 = 105}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\footnotesize{ \sf \dfrac { 18(18 + 5d) - 3d(18 + 5d) } { 4 } + 3d ^2 = 105}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf \dfrac { 324 + 90d - 54d - 15d ^2 }{ 4 } + 3d ^2 = 105$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf \dfrac { 324 + 90d - 54d - 15d ^2 + 12d ^2 } { 4 } = 105$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf \dfrac { (324 + 36d - 3d ^2) } { 4 } = 105$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf (324 + 36d - 3d ^2) = 105 \times 4$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 324 + 36d - 3d ^2 = 420$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 36d - 3d ^2 = 420 - 324$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 36d - 3d ^2 = 96$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf 3d ^2 - 36d + 96 = 0$

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⟮ Dividing the above equation by '3' ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf d ^2 - 12d + 32 = 0$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf d ^2 - 8d - 4d + 32 = 0$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf d(d - 8) - 4(d - 8) = 0$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ (d - 8)(d - 4) = 0

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

• d = 8
• d = 4

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Case I (If d = 8)

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⟮ Putting d = 8 in ⓶ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a = \dfrac { 18 - 3d } { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a = \dfrac { 18 - 3(8)} { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a = \dfrac { 18 - 24} { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a = \dfrac { -6} { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: : ➨ a = -3

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{When d = 8 \& a = -3 : }}}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{ \underline{\bold{\texttt{First term :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ a + 0d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the values ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_1 = -3$

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Second term :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ a + d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the values ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_2 = -3 + 8$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜ $\sf a_2 = 5$

Answer 2

Answer- Continuity of @EliteZeal's answer...

$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Third term :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  a + 2d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the values ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_3 = -3 + 2(8)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_3 = 13$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Fourth term :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  a + 3d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the values ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_4 = -3 + 3(8)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_4 = 21$

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So the AP in this case is -

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

➠ -3 , 5 , 13 , 21 ⚊⚊⚊⚊ ⓻

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

Hence the AP is -3 , 5 , 13 , 21

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Case II (If d = 4)

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⟮ Putting d = 4 in ⓶ ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a = \dfrac { 18 - 3d } { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a = \dfrac { 18 - 3(4)} { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a = \dfrac { 18 - 12} { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a = \dfrac { 6} { 2 }$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  a = 3

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$\underline{\purple{ \underline{\orange{\bold{\texttt{When d = 8 \& a = 3 :}}}}}}$  

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{First term :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  a + 0d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the values ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_1 = 3 + 0(4)$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_1 = 3$

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Second term :}}}}$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  a + d

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

⟮ Putting the values ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_2 = 3 + 4$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_2 = 7$

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Third term :}}}}$

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: ➜  a + 2d

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⟮ Putting the values ⟯

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

: ➜  $\sf a_3 = 3 + 2(4)$

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: ➜  $\sf a_3 = 11$

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$\underline{ \underline{\bold{\texttt{Fourth term :}}}}$

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: ➜  a + 3d

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⟮ Putting the values ⟯

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: ➜  $\sf a_4 = 3 + 3(4)$

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: ➜  $\sf a_4 = 15$

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So the AP in this case is -

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➠ 3 , 7 , 11 , 15 ⚊⚊⚊⚊ ⓼

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Hence the AP is 3 , 7 , 11 , 15.

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∴ The AP is 3 , 7 , 11 , 15 or -3 , 5 , 13 , 21.