Question

find the constant c such that the function f(X)= cx^2 for 0<X<3
0 otherwise
us a density function,and b) compute p(1<X<2)

​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{Probability density function is}$

$\mathsf{f(x)=\left\{cx^2,\;\;0<x<3}\\\mathsf{\;\;\;=\left\{0\;\;otherwise}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{(i) The value of c}$

$\mathsf{(ii)\;P(1<X<2)}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{(i) Since f(x) is a p.d.f,}$

$\mathsf{\int\limits^{\infty}_{-\infty}\;f(x)\;dx=1}$

$\mathsf{\int\limits^{3}_{0}\;cx^2\;dx=1}$

$\mathsf{c\left(\dfrac{x^3}{3}\right)^{3}_{0}=1}$

$\mathsf{c\left(\dfrac{3^3}{3}-0\right)=1}$

$\mathsf{c(9)=1}$

$\implies\boxed{\mathsf{c=\dfrac{1}{9}}}$

$\implies\mathsf{(ii)\;P(1<X<2)}$

$\mathsf{=\int\limits^{2}_{1}\;f(x)\;dx}$

$\mathsf{=\int\limits^{2}_{1}\;\dfrac{1}{9}\;x^2\;dx}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{9}\int\limits^{2}_{1}\;x^2\;dx}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{x^3}{3}\right)^{2}_{1}}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{1^3}{3}\right)}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}\right)}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{7}{3}\right)}$

$\mathsf{=\dfrac{7}{27}}$

$\implies\boxed{\mathsf{P(1<X<2)=\dfrac{7}{27}}}$