Question

find the derivative of √(1 - 2x) by definition of derivative​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given function is

$\rm :\longmapsto\:f(x) = \sqrt{1 - 2x}$

So,

$\rm :\longmapsto\:f(x + h) = \sqrt{1 - 2(x + h)}$

$\rm :\longmapsto\:f(x + h) = \sqrt{1 - 2x - 2 h}$

By using definition of First Principle, we have

$\rm :\longmapsto\:f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

$\rm \:  =  \: \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{1 - 2x - 2h} - \sqrt{1 - 2x} }{h}$

On substituting directly h = 0, we get indeterminant form.

So, to solve such type of limits, we use method of Rationalization.

So, on rationalizing the numerator, we get

$\rm=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{1 - 2x - 2h} - \sqrt{1 - 2x} }{h} \times \red{ \dfrac{ \sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x} }{ \sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x} } }$

$\rm=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1 - 2x - 2h} - \sqrt{1 - 2x})(\sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x}) }{h(\sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x})}$

$\rm=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(1 - 2x - 2h) - (1 - 2x) }{h(\sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x})}$

$\rm=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1 - 2x - 2h - 1 + 2x}{h(\sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x})}$

$\rm=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{ - 2h }{h(\sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x})}$

$\rm=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{ - 2 }{\sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x}}$

$\rm \:  =  \: \dfrac{ - 2 }{\sqrt{1 - 2x - 2(0)} + \sqrt{1 - 2x}}$

$\rm \:  =  \: \dfrac{ - 2 }{\sqrt{1 - 2x } + \sqrt{1 - 2x}}$

$\rm \:  =  \: \dfrac{ - 2 }{2\sqrt{1 - 2x }}$

$\rm \:  =  \: \dfrac{ -1}{\sqrt{1 - 2x }}$

Hence,

$\red{ \boxed{ \sf{ \:\rm \: f'(x) \: =  \: \dfrac{ -1}{\sqrt{1 - 2x }} \: \: \: \: }}}$

Additional Information :-

$\green{\begin{gathered}\boxed{\begin{array}{c|c} \bf f(x) & \bf \dfrac{d}{dx}f(x) \\ \\ \frac{\qquad \qquad}{} & \frac{\qquad \qquad}{} \\ \sf k & \sf 0 \\ \\ \sf sinx & \sf cosx \\ \\ \sf cosx & \sf - \: sinx \\ \\ \sf tanx & \sf {sec}^{2}x \\ \\ \sf cotx & \sf - {cosec}^{2}x \\ \\ \sf secx & \sf secx \: tanx\\ \\ \sf cosecx & \sf - \: cosecx \: cotx\\ \\ \sf \sqrt{x} & \sf \dfrac{1}{2 \sqrt{x} } \\ \\ \sf logx & \sf \dfrac{1}{x}\\ \\ \sf {e}^{x} & \sf {e}^{x} \end{array}} \\ \end{gathered}}$

Answer 2

Question :-

find the derivative of √(1 - 2x) by definition of derivative.

Solution :-

Given :

$\rm{☯ \: \: f(x) = \sqrt{1 - 2x} }$

Then the becomes

$\rm:\longmapsto{f(x + h) = \sqrt{1 - 2(x + h)} } \\ \\ \rm:\longmapsto{f(x + h) = \sqrt{1 - 2x - 2h } } \:$

Use the first principle

$\rm:\longmapsto{f'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} }}$

Put the value of f(x) and f(x+h)

$\rm:\implies{ \displaystyle \lim_{h \to0} \rm{ \frac{ \sqrt{ 1 - 2x - 2h} - \sqrt{1 - 2x} }{h} }}$

When we solve this types of limits we can't directly put h = 0, then we rationalize the denominator.

$\rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ \sqrt{1 - 2x - 2h} - \sqrt{1 - 2x} }{h} \times \frac{ \sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x} }{ \sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x} } }} \\ \\ \\ \rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{( \sqrt{1 - 2x - 2h}) {}^{2} - ( \sqrt{1 - 2x} ) {}^{2} }{h( \sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x} )} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ \cancel1 \cancel{- 2x} - 2h \cancel{- 1} \cancel{+ 2x}}{h( \sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x} ) } }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ - 2 \cancel{h}}{ \cancel{h}( \sqrt{1 - 2x - 2h} + \sqrt{1 - 2x} ) } }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ - 2}{ \sqrt{1 - 2x - 2(0)} + \sqrt{1 - 2x} } }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ - 2}{ \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{1 - 2x} } }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ \cancel{ - 2}}{ \cancel2 \sqrt{1 - 2x} } }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\rm:\longmapsto{\displaystyle \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ - 1}{ \sqrt{1 - 2x} } }}$

Hence,

$\red \bigstar\rm \: { \displaystyle \boxed{ \sf{f(x) = \lim_{h \to 0} \rm{ \frac{ - 1}{ \sqrt{1 - 2x} } }}}}$

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