Question

Find the equation of the tangent and normal to the curve y (x+2) (x-3) -x+7=0 at the point where ot cuts the xaxis

Answer 1

The equation of given curve isy x - 2 x - 3 - x + 7 = 0The given curve cuts the x-axis where y = 0Putting y = 0 in the given equation we get 0 x - 2 x - 3 - x + 7 = 0⇒ -x + 7 = 0⇒ x = 7Therefore, the point of contact is 7, 0Now, yx - 2 x - 3 - x + 7 = 0⇒ y x2 - 3x - 2x + 6 - x + 7⇒ y x2 - 5x + 6 - x + 7 = 0  .........1On differentiating both sides of 1 with respect to x, we getyddx x2 - 5x + 6 + x2 - 5x + 6dydx - 1 = 0⇒ y 2x - 5 + x2 - 5x + 6dydx = 1⇒ 2xy - 5y + x2 - 5x + 6dydx = 1⇒ dydx = 1 + 5y - 2xyx2 - 5x + 6

Hence, dydx7, 0 = 1 + 5 × 0 - 2 × 7 × 072 - 5 × 7 + 6 = 149 - 35 + 6 = 120Hence slope of tangent m = 120and x1 = 7  and   y1 = 0So, the equation of tangent isy - y1 = m x - x1⇒ y - 0 = 120 x - 7⇒ 20 y = x - 7⇒ x - 20y - 7 = 0Now, slope of tangent m1 = -1m = -20So, the equation of normal isy - y1 = m1 x - x1⇒ y - 0 = -20 x - 7⇒ y = -20x + 140⇒ 20x + y - 140 = 0