Question

find the equation that represent the quadratic function in the given table of values. table is above ☝️​

Answer 1

Answer:

The required equations are $5x^{2} -3x-2y+10$ and  $x^{2} + 7x-3y -8$

Step-by-step explanation:

Given (1)       x     -2    -1     0    1    2

                    y      6     3     2   3    6

 let the quadratic equation  $y=ax^{2} + b x+ c$  

 passes through  set of points  ( -2, 6) (-1, 3) (0,2) (1, 3) (2,6)

 take 3 set of points in a order (-2, 6) (-1, 3) and (0,2)

 substitute the above points in $y=ax^{2} +bx+c$

 (-2, 6) ⇒   $6 =a( -2)^{2} +b(6)+ c$  

                 $4a +6b+ c =6$  equation (1)

 (-1,3 )  ⇒  $3= a(-1)^{2} + b(3)+c$            

                $a +3b +c =3$  equation (2)

  (0, 2) ⇒  $2 =a(0) +b(2)+c$

                   $2b+c =2$   equation (3)

    equation (1)  - 4 equation (2)

    ⇒ $4a +6b+c -4( a+3b+c) = 6-3$

     ⇒ $4a +6b+c- 4a-12b-4c= 3$

      ⇒  $-12b -3c =3$  

      ⇒  $-3( 4b+c) = 3$

       ⇒  $4b +c = -\frac{3}{3}$

       ⇒   $4b+c =-1$  

       ⇒    $2b+ 2b+ c=0$  

       ⇒   $2b+ 2 =-1$   ( equation (3) )

        ⇒ $2b = -3$   ⇒  b =  $\frac{ -3}{2}$  

      $b =-\frac{3}{2}$  ⇒   equation (3) ⇒   2( $-\frac{3}{2}$ ) + c=2

                                              ⇒   -3 + c= 2  ⇒  c=5

substitute b = -3/2 and c=5 in equation 2

                    ⇒$a+ 3b+c=3$

                    ⇒$a + 3( -\frac{3}{2}) + 5 = 3$

                    ⇒ $a -\frac{9}{2} =3-5$

                   ⇒ $a = -2 +\frac{9}{2}$

                   ⇒ $a=\frac{5}{2}$  

required equation ⇒  $y = (\frac{5}{2} )x^{2} + (-\frac{3}{2} )+5$

                                ⇒  $y= \frac{5x^{2} -3x +10 }{ 2}$

                                ⇒  $2y =5x^{2} -3x+10$

   the required equation is  $5x^{2} -3x-2y+10$

(2)       x    1     2     3    4    5

           y    0     1     4    9   16

 let the quadratic equation  $y = ax^{2} + bx + c$  

 passes through  (1, 0) (2, 1) ( 3, 4) (4, 9)  (5, 16)

  take 3 set of points (1, 0) (2, 1) and (3, 4)

  substitute the above in $y= ax^{2} + bx+c$

 ( 1, 0) ⇒ $0= a(1) ^{2} + b(1) +c$

          ⇒ $a+b+c =0$  equation 1

 (2,1)  ⇒  $1= a(2)^{2}+ b(1) + c$

         ⇒  $4a +b+ c =1$ equation 2

 (3, 4) ⇒ $4 = a (3)^{2} +b(3) + c$

          ⇒ $9a +3b+c= 4$  equation 3

 equation 1 - equation 2

       ⇒  $a +b+ c -4a-b-c=0-1$

      ⇒  -3a = -1

      ⇒  a= $\frac{ 1}{ 3}$  

  equation 2 - equation 3

      ⇒  $4a+b+c- 9a-3b-c= 1-4$

      ⇒  $-5a -2b =-3$

      ⇒ $5( \frac{1}{3} )-2b = -3$  ( a= 1/3)

     ⇒ $-2b =-3- \frac{ 5}{ 3}$

     ⇒  $2b= \frac{ 9+5}{3}$

     ⇒ 2b =$\frac{ 14}{ 3}$ ⇒ b =  $\frac{ 14}{ 6}$ =  $\frac{ 7}{ 3}$  ⇒  b= 7/3

a =1/3 , b=7/3  substitute in equation 1

           ⇒ $\frac{1}{ 3} + \frac{ 7}{ 3} + C= 0$

          ⇒ $\frac{ 8}{ 3} +C= 0$

          ⇒  C $=- \frac{8 }{ 3}$

The required equation   $y= ( \frac{1}{3}) x^{2} + \frac{7}{3} x-\frac{8}{3}$

                            ⇒ $3y = x^{2} + 7x-8$

                            ⇒$x^{2} + 7x-3y-8$

Answer 2

y =  x² + 2  represent ( -2 , 6) , (-1,3) , (0 , 2) ,  (1 , 3) , (2 , 6)

y = (x - 1)²  represent (1 , 0) , (2,1) , (3 , 4) , (4 , 9) , (5 , 16)

Quadratic Function f(x) = ax² + bx + c

Quadratic Equation ax² + bx + c = 0  where a, b and  c are real and a≠0

y =  ax² + bx + c

Substitute x = 0  and y = 2

2= 0 + 0  + c

=> c = 2

Hence y = ax² + bx + 2

Substitute x = -1 and x = 1  and y = 3

a - b + 2 = 3 =>  a - b = 1

a  + b + 2 = 3 => a + b = 1

on solving a = 1 and b = 0

Hence y =  x² + 2

Using similar procedure for other table

a + b + c = 0     Eq1

4a + 2b + c = 1    Eq2

9a + 3b + c = 4      Eq3

3a + b = 1       Eq2 - Eq1

5a + b  = 3       Eq3 - Eq2

a = 1  , b = - 2 , c = 1

y = x² - 2x + 1  

y = (x - 1)²