Question

find the radius of curvature at point 2,2on curve xy=4​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{Curve is xy=4}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Radius of curvature of the given curve at (2,2)}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Formula used:}}$

$\textsf{Radius of curvature of the curve y=f(x) is}$

$\boxed{\mathsf{R=\left|\dfrac{\left(1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right)^\frac{3}{2}}{\dfrac{d^2y}{dx^2}}\right|}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{xy=4}$

$\implies\mathsf{y=\dfrac{4}{x}}$

$\implies\mathsf{y=4\;x^{-1}}$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=-4x^{-2}}$

$\mathsf{\dfrac{d^2y}{dx^2}=8x^{-3}}$

$\mathsf{At\;(2,2),}$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=-4(2)^{-2}=\dfrac{-4}{2^2}=-1}$

$\mathsf{\dfrac{d^2y}{dx^2}=8(2)^{-3}=\dfrac{8}{2^3}=1}$

$\textsf{Now,\;Radius of curvature}$

$\mathsf{R=\left|\dfrac{\left(1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right)^\frac{3}{2}}{\dfrac{d^2y}{dx^2}}\right|}$

$\mathsf{R=\left|\dfrac{\left(1+(-1)^2\right)^\frac{3}{2}}{1}\right|}$

$\mathsf{R=\left|\dfrac{\left(1+1\right)^\frac{3}{2}}{1}\right|}$

$\mathsf{R=\left|\dfrac{2^\frac{3}{2}}{1}\right|}$

$\mathsf{R=\left|\dfrac{2\sqrt{2}}{1}\right|}$

$\implies\boxed{\mathsf{R=2\sqrt{2}}}$