Question

Find the real root of the equation x3-5x+3=0 by newton raphsons method to three places of decimal

Answer 1

Answer:

Concept:

According to the Newton- Raphson method:

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f' x_{n}}$

where xn is starting guess.

Find:

We have to Find the real root of the equation x³-5x+3=0

Given:

${x}^{3} - 5x + 3 = 0$

Step-by-step explanation:

let

$f(x) = {x}^{3 } - 5x + 3$

$f'(x) = 3 {x}^{2} - 5$

$f(1) = {1}^{3} - 5(1) + 3$

$f(1) = - 2$

$f(2) = {2}^{3} - 5(2) + 3$

$f(x) = 8 - 10 + 3$

$f(2) = 1$

We assume

$x_{0} = - 2$

Hence root of given function is

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f' x_{n}}$

$x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f' x_{0}}$

$x_{1} = x_{0} - \frac{f( { x_{0}}^{3} - 5 x_{0} + 3 )}{f' 3 { x_{0} }^{2} - 5}$

$x_{1} = - 2 - \frac{5}{7}$

$x_{n + 1} = - 2.714$

The real root is -2.714

#SPJ3

Answer 2

Answer:

The real root of the equation $x^{3}-5 x+3=0$ by newton Raphson's method to three places of decimal is $x_{I I I}=1.834$.

Step-by-step explanation:

To find the real root of the equation x3-5x+3=0 by the newton Raphson's method to three places of decimal.

The real root of the equation

$x^{3}-5 x+3=0$

Step 1

Let,

$f(x)=x^{3}-5 x+3$

$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-5$

By newton Raphson's method

$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}\end{gathered}$

$x_{0}=-2$

Step 2

$step$    $x_{0}$                      $& f\left(x_{0}\right)$                 $& x_{1} &$                $f\left(x_{1}\right)$

$1$         $& -2.0000$                   $5$                $-2.7143$          $& -3.4257$

$2$        $& -2.7143$              $& -3.4257$            $& -2.5140 &$          $-0.3187$

$3$        $& -2.5140$              $& -0.3187$             $& -2.4912$          $& -0.0039$

$4$        $& -2.4912$              $& -0.0039$             $& -2.4909$           $& 0.0000$

$5$        $& -2.4909$              $& -0.0000$             $& -2.4909$           $& 0.0000$

The first approximation,

$x_{I}=-2.491$

$x_{0}=1$

Step 3

$step$       $x_{0}$                   $& f\left(x_{0}\right)$               $& x_{1} &$                $f\left(x_{1}\right)$

$1$            $& 1.0000$             $& -1.0000$         $& 0.5000$            $& 0.6250$

$2$            $& 0.5000$            $& 0.6250$           $& 0.6471$            $& 0.0356$

$3$            $& 0.6471$             $& 0.0356$          $& 0.6566$            $& 0.0002$

$4$            $& 0.6566$             $& 0.0002$           $& 0.6566$           $& 0.0002$

The second approximation,

$x_{I I}=0.657$

$x_{0}=2$

Step 4

$step$        $x_{0}$                   $& f\left(x_{0}\right)$               $& x_{1} &$                 $f\left(x_{1}\right)$

$1$             $& 2.0000$            $& 1.0000$            $& 1.8571$            $& 0.1195$

$2$            $& 1.8571$             $& 0.1195$            $& 1.8348$            $& 0.0028$

$3$            $& 1.8348$            $& 0.0028$             $& 1.8342$            $& 0.0000$

$4$            $& 1.8342$             $& 0.0000$            $& 1.8342$           $& 0.0000$

The third approximation,

$x_{I I I}=1.834$

Therefore, the correct answer is, $x_{I I I}=1.834$

#SPJ3