Question

Find the remainder when p(x)=x^3-6x^2+14x-3 is divided by g(x)= 1-2x and verify the result by long division

Answer 1

$\sf\red{Solution:-}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\small \sf{g(x) = 1 - 2x}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\small \tt{1 - 2x = 0}$

$\tt{x = \frac{ - 1}{ - 2} }$

$\tt{x = \frac{ \cancel- 1}{ \cancel- 2} }$

$\boxed{ \small \tt \red{x = \frac{1}{2}}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\small\sf{ Now \: substitute \: the \: value \: of \: x \: in \: p(x) \: which \: is } \sf \red{ \frac{1}{2} }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\small \tt{p(x) = {x}^{3} - {6x}^{2} + 14x - 3 }$

$\small \tt{p( \frac{1}{2} ) = {( \frac{1}{2}) }^{3} - {6 \times (\frac{1}{2}) }^{2} + 14 \times \frac{1}{2} - 3 }$

$\small \tt{p( \frac{1}{2} ) = {\frac{1}{8} } - \frac{6}{4} + \cancel14 \times \frac{1}{ \cancel2} - 3 }$

$\small \tt{p( \frac{1}{2} ) = {\frac{1}{8} } - \frac{6}{4} + 7 - 3 }$

$\small \tt{p( \frac{1}{2} ) = \frac{1 - 12 + 32}{8} }$

$\small \tt{p( \frac{1}{2} ) = \frac{1 + 21}{8} }$

$\small \tt{p( \frac{1}{2} ) = \frac{21}{8} }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\sf \red{Verification \: by \: Long \: Division}$

$\tt{ - 2x + 1 \: ) \: \: {x}^{3} - {6x}^{2} + 14x - 3 \: \: ( \frac{1}{2} {x}^{2} + \frac{11}{4}x - \frac{45}{8} }$

$\tt \red{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: {x}^{3} + \frac{1}{2} {x}^{2} }$

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: + }$

_________________

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \frac{11}{2} {x}^{2} + 14x - 3 }$

$\tt \red{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \frac{11}{2} {x}^{2} + \frac{11}{4}x }$

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - }$

____________________________

$\tt { \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\frac{45}{4}x - 3 }$

$\tt \red{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{45}{4}x - \frac{45}{8} }$

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: + }$

__________________________

$\tt \red { \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{21}{8} }$

___________________________

$\boxed{ \small\sf{Remainder = \frac{21}{8} }}$