Question

Find the solution of y"-7y'+6y=sin x at y(0)=0 y'(0)=1

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{y''-7y'+6y=sinx and y(0)=0, y'(0)=1}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Solution of the differetial equation}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\textsf{y''-7y'+6y=sinx}$

$\textsf{characteristic equation is}\;\mathsf{m^2-7m+6=0}$

$\mathsf{(m-1)(m-6)=0}$

$\implies\mathsf{m=1,6}$

$\textsf{Complementary function is}\;\mathsf{A\,e^{m_1x}+B\,e^{m_2x}}$

$\implies\mathsf{A\,e^{1\,x}+B\,e^{6\,x}}$

$\mathsf{Particular\;integral}$

$\mathsf{=\dfrac{sinx}{D^2-7D+6}}$

$\mathsf{=\dfrac{sinx}{-1-7D+6}}\;\;\;\mathsf{(D^2\;\implies\;-1)}$

$\mathsf{=\dfrac{sinx}{-7D+5}}$

$\mathsf{=\dfrac{sinx}{-(7D-5)}{\times}\dfrac{7D+5}{7D+5}}$

$\mathsf{=\dfrac{(7D+5)sinx}{-(7D-5)(7D+5)}}$

$\mathsf{=\dfrac{7\,D(sinx)+5\,sinx}{-(49D^2-25)}}$

$\mathsf{=\dfrac{7\,cosx+5\,sinx}{-(49(-1)-25)}}$

$\mathsf{=\dfrac{7\,cosx+5\,sinx}{-(-49-25)}}$

$\mathsf{=\dfrac{7\,cosx+5\,sinx}{74}}$

$\therefore\textbf{The general solution is}$

$\mathsf{y=Complementary\;function\,+\,Particular\,integral}$

$\mathsf{y=A\,e^{x}+B\,e^{6\,x}+\dfrac{7\,cosx+5\,sinx}{74}}$

$\mathsf{But,\;\;y(0)=0}$

$\implies\mathsf{0=A\,e^0+B\,e^0+\dfrac{7\,cos(0)+5\,sin(0)}{74}}$

$\implies\mathsf{0=A+B+\dfrac{7}{74}}$

$\implies\mathsf{A+B=\dfrac{-7}{74}}$-----------(1)

$\mathsf{Also,\;y'(0)=1}$

$\implies\mathsf{1=A\,e^{(0)}+6B\,e^{6(0)}+\dfrac{-7\,sin(0)+5\,cos(0)}{74}}$

$\implies\mathsf{1=A+6B+\dfrac{5}{74}}$

$\implies\mathsf{A+6B=\dfrac{69}{74}}$

$\implies\mathsf{(A+B)+5B=\dfrac{69}{74}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{-7}{74}+5B=\dfrac{69}{74}}$

$\implies\mathsf{5B=\dfrac{76}{74}}$

$\implies\mathsf{B=\dfrac{76}{370}}$

$\mathsf{(1)\implies}$

$\implies\mathsf{A+\dfrac{76}{370}=\dfrac{-7}{74}}$

$\implies\mathsf{A=\dfrac{-7}{74}-\dfrac{76}{370}}$

$\implies\mathsf{A=\dfrac{-35-76}{370}}$

$\implies\mathsf{A=\dfrac{-111}{370}}$

$\textbf{Solution is}$

$\mathsf{y=\left(\dfrac{-111}{370}\right)\,e^{x}+\left(\dfrac{76}{370}\right)\,e^{6\,x}+\dfrac{7\,cosx+5\,sinx}{74}}$