Question

Find the square root of the following complex number
$\mathsf{7+2i}$

Answer 1

$\boxed{ \mathsf \red{ \sqrt{a + ib} \: = \: \pm \:\Bigg[ \sqrt{ \frac{ \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } + a }{2} } + i \sqrt{ \frac{ \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } - a }{2} } \Bigg] }}$

$\mathsf{ \sqrt{7+ 24i} \: = \: \pm \:\Bigg[ \sqrt{ \frac{ \sqrt{ {7}^{2} + {24}^{2} } + 7 }{2} } + i \sqrt{ \frac{ \sqrt{ {7}^{2} + {24}^{2} } - 7 }{2} } \Bigg] }$

$\mathsf{ \: \: \: \: \: = \: \pm \:\Bigg[ \sqrt{ \frac{ \sqrt{ 49 \: + 576 } + 7 }{2} } + i \sqrt{ \frac{ \sqrt{ 49 + 576 } - 7 }{2} } \Bigg] }$

$\mathsf{ \: \: \: \: \: = \: \pm \:\Bigg[ \sqrt{ \frac{ \sqrt{ 625 } + 7 }{2} } + i \sqrt{ \frac{ \sqrt{ 625 } - 7 }{2} } \Bigg] }$

$\mathsf{ \: \: \: \: \: = \: \pm \:\Bigg[ \sqrt{ \frac{ 25 + 7 }{2} } + i \sqrt{ \frac{ 25 - 7 }{2} } \Bigg] }$

$\mathsf{ \: \: \: \: \: = \: \pm \:\Bigg[ \sqrt{ \frac{ 32 }{2} } + i \sqrt{ \frac{ 18 }{2} } \Bigg] }$

$\mathsf{ \: \: \: \: \: = \: \pm \:\Big[ \sqrt{ 16 } + i \sqrt{ 9} \Big] }$

$\mathsf{ \: \: \: \: \: = \: \pm \:( 4 +3 i ) }$