Question

Find the value of a and b if 7 + 3 root 5 by 3 + root 5 minus 7 minus 3 root 5 by 3 minus root 5 equal to a + root 5 b

Answer 1

Question:

Find the value of a and b. If $\frac{7 \: + \: 3 \sqrt{5} }{3 \: + \: \sqrt{5}} \: - \: \frac{7 \: - \: 3 \sqrt{5} }{3 \: - \: \sqrt{5} } \: = \: a \: + \: \sqrt{5}b$

Solution:

$\frac{7 \: + \: 3 \sqrt{5} }{3 \: + \: \sqrt{5}} \: - \: \frac{7 \: - \: 3 \sqrt{5} }{3 \: - \: \sqrt{5} } \: = \: a \: + \: \sqrt{5}b$

Taking L.H.S.

→ $\frac{7 \: + \: 3 \sqrt{5} }{3 \: + \: \sqrt{5}} \: - \: \frac{7 \: - \: 3 \sqrt{5} }{3 \: - \: \sqrt{5} }$

Resolve it

→ $\frac{7 \: + \: 3 \sqrt{5} }{3 \: + \: \sqrt{5}} \: \times \: \frac{3 \: - \: \sqrt{5} }{3 \: - \: \sqrt{5} } \: - \: \frac{7 \: - \: 3 \sqrt{5} }{3 \: - \: \sqrt{5} } \: \times \: \frac{3 \: + \: \sqrt{5} }{3 \: + \: \sqrt{5} }$

We know that

(a + b) (a - b) = a² - b²

→ $\frac{(7 \: + \: 3 \sqrt{5} )(3 \: - \: \sqrt{5}) }{ {(3)}^{2} \: - \: {( \sqrt{5}) }^{2} } \: - \: \frac{(7 \: - \: 3 \sqrt{5} )(3 \: + \: \sqrt{5}) }{ {(3)}^{2} \: - \: { (\sqrt{5}) }^{2} }$

→ $\frac{7(3 \: - \: \sqrt{5}) \: + (3 \sqrt{5}) (3 \: - \: \sqrt{5}) }{ 9 \: - \: 5} \: - \: \frac{7(3 \: + \: \sqrt{5}) \: - (3 \: \sqrt{5} )(3 \: + \: \sqrt{5} )}{9 \: - \: 5 }$

→ $\frac{(21 \: - \: 7 \sqrt{5}) \: + \: (9 \sqrt{5} \: - \: 15) }{ 4} \: - \: \frac{(21 \: + \: 7\sqrt{5}) \: - (9 \sqrt{5} + \: 15)}{4}$

→ $\frac{21 \: - \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9 \sqrt{5} \: - \: 15}{ 4} \: - \: \frac{21 \: + \: 7\sqrt{5} \: - \:9 \sqrt{5} - \: 15}{4}$

→ $\frac{21 \: - \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9 \sqrt{5} \: - \: 15 \: - \: (21 \: + \: 7\sqrt{5} \: - \: 9 \sqrt{5} - \: 15)}{ 4}$

→ $\frac{21 \: - \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9 \sqrt{5} \: - \: 15 \: - \: 21 \: - \: 7\sqrt{5} \: + \: 9 \sqrt{5} + \: 15}{ 4}$

→ $\frac{- \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9 \sqrt{5} \: - \: 7\sqrt{5} \: + \: 9 \sqrt{5} }{ 4}$

→ $\frac{- \: 14 \sqrt{5} \: + \: 18 \sqrt{5}}{ 4}$

→ $\frac{2(- \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9\sqrt{5})}{ 4}$

→ $\frac{- \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9\sqrt{5}}{2}$

Now ..

→ $\frac{- \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9\sqrt{5}}{2}$ = $a\:+\:b\sqrt{5}$

Multiply with 2 on both sides

→ $\frac{2(- \: 7 \sqrt{5} \: + \: 9\sqrt{5})}{2}$ = $2a\:+\:2b\sqrt{5}$

→ $-\:7\sqrt{5}\:+\:9\sqrt{5}$ = $2a\:+\:2b\sqrt{5}$

Here ..

2a = - 7 + √5

=> a = $\frac{7\:+\:\sqrt{5}}{2}$

2b√5 = 9√5

=> b√5 = $\frac{9\sqrt{5}}{2}$

=> b = $\frac{9}{2}$

_______________________________

a = $\dfrac{7\:+\:\sqrt{5}}{2}$ and b = $\dfrac{9}{2}$

____________ [ ANSWER ]

_______________________________

Answer 2

see the attachment mate.....

hope this helps.... u