Question

Find the value of a and b if
$\frac{7 + 3 \sqrt{5} }{3 + \sqrt{5} } - \frac{7 - 3 \sqrt{5} }{3 - \sqrt{5} } = a + \sqrt{5b}$
​

Answer 1

$\huge{\underline{\underline{\sf{\orange{Solution:-}}}}}$

$\blue{We\:Have}$

$\frac{7 + 3 \sqrt{5} }{3 + \sqrt{5} } - \frac{7 - 3 \sqrt{5} }{3 - \sqrt{5} } = \frac{(7 + 3 \sqrt{5)} }{(3 + \sqrt{5)} } \times \frac{(3 - \sqrt{5} )}{(3 - \sqrt{5}) } - \frac{(7 - 3 \sqrt{5} )}{(3 - \sqrt{5}) } \times \frac{(3 + \sqrt{5} }{(3 + \sqrt{5}) } \\ = \frac{(21 - 7 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} - 15 }{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5} ) } - \frac{(21 + 7 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5} - 15 )}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5} )} \\ = \frac{(6 + 2 \sqrt{5} )}{ {(3)}^{2} - {( \sqrt{5}) }^{2} } - \frac{(6 - 2 \sqrt{5} )}{ {(3)}^{2} - {( \sqrt{5}) }^{2} } \\ = \frac{(6 + 2 \sqrt{5} )}{(9 - 5)} - \frac{(6 - 2 \sqrt{5}) }{(9 - 5)} = \frac{6 + 2 \sqrt{5} }{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{5} }{4} \\ = \frac{6 + 2 \sqrt{5} - 6 + 2 \sqrt{5} }{4} = \frac{4 \sqrt{5} }{4} = \sqrt{5} .$

$\therefore \: \frac{7 + 3 \sqrt{5} }{3 + \sqrt{5} } - \frac{7 - 3 \sqrt{5} }{3 - \sqrt{5} } = a + \sqrt{5b} ⇒ \sqrt{5} = a + \sqrt{5b} \\ ⇒a = 0 \: and \: b = 1.$

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