Question

Find the value of a and b.
$3 \div \sqrt{3 + 1 } \ + 5 \div \sqrt{3 - 1 \: } = a + b \sqrt{3}$
​

Answer 1

Given

$\large \bf \mapsto3 \div \sqrt{3} + 1 \ + 5 \div \sqrt{3} - 1 \: = a + b \sqrt{3}$

To Find

$\large \bf \mapsto \: value \: of \: a \:and \: b$

Concept used

$\begin{cases}\large \bf \: rationalisation \: \: \: \boxed{1}\\ \\ \large \bf {a}^{2} - {b}^{2} = (a + b) (a - b) \: \boxed{2} \end{cases}$

Solution

$\rm \: \dfrac{3}{ \sqrt{3} + 1 } + \dfrac{5}{ \sqrt{3} - 1 }$

First we solve $\rm \dfrac{3}{ \sqrt{3} + 1}$

$\rm \: \dfrac{3}{ \sqrt{3} + 1 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf \: using \boxed{1} \: rationalisation \\ \\ \implies \rm \: \frac{3}{ \sqrt{3} + 1 } \times \frac{ \sqrt{3} - 1}{ \sqrt{3} - 1 } \\ \\ \bf \: using \boxed{2} \\ \\ \implies \rm \: \frac{3( \sqrt{3} - 1 )}{ { (\sqrt{3} )}^{2} - {1}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \rm \frac{3 \sqrt{3} - 3 }{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Now we solve right one

$\rm\dfrac{5 }{ \sqrt{3 }- 1} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: \frac{5}{ \sqrt{3} - 1 } \times \frac{ \sqrt{3} + 1 }{ \sqrt{3} + 1 } \\ \\ \implies \rm \: \frac{5( \sqrt{3} + 1 )}{ {( \sqrt{3}) }^{2} - {1}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: \frac{5 \sqrt{3} + 1}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Now put this in equation

$\rm \: \dfrac{3 \sqrt{3} - 3 }{2} + \dfrac{5 \sqrt{3} + 1}{2} = a + b \sqrt{3} \\ \\ \implies \rm \: \frac{3 \sqrt{3} - 3 + 5 \sqrt{3} + 1}{2} = a + b \sqrt{3} \\ \\ \implies \rm \: \frac{8 \sqrt{3} - 2 }{2} = a + b \sqrt{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf \: taking \: common \\ \\ \implies \rm \: \frac{2(4 \sqrt{3} - 1)}{2} = a + b \sqrt{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \rm \: - 1 + 4 \sqrt{3} = a + b \sqrt{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \underline{ \boxed{ \large \bf \: a = - 1 \: \: \: and \: \: \: b = 4}}$

Therefore a=-1 and b=4