Question

find the value of and b if
\frac{\sqrt{3}-1 }{\sqrt{3}+1 } =a+b\sqrt{3}

Answer 1

First, we rationalise the denominator.

$\mathsf{\frac{\sqrt{3} \ - \ 1}{\sqrt{3} \ + \ 1}}$ = $\mathsf{a + b\sqrt{3}}$

$\mathsf{\frac{\sqrt{3} \ - \ 1}{\sqrt{3} \ + \ 1}}$ $\mathsf{\times}$  $\mathsf{\frac{\sqrt{3} \ - \ 1}{\sqrt{3} \ - \ 1}}$ = $\mathsf{a + b\sqrt{3}}$

$\mathsf{\frac{(\sqrt{3} \ - \ 1 )^{2}}{\sqrt{3}^{2} - 1^{2}}}$ = $\mathsf{a + b\sqrt{3}}$

$\mathsf{\frac{(\sqrt{3})^{2} \ - \ 2(\sqrt{3})(1) \ + \ 1^{2}}{\sqrt{3}^{2} \ - \ 1^{2}}}$ = $\mathsf{a + b\sqrt{3}}$

$\mathsf{\frac{3 \ - \ 2\sqrt{3} \ + \ 1 }{2}}$ = $\mathsf{a + b\sqrt{3}}$

$\sf{\frac{4 \ - 2\sqrt{3}}{2}} = \mathsf{a + b\sqrt{3}}$

$\sf{\frac{4}{2}}$ + $\sf{\frac{-2\sqrt{3}}{2}}$

$\mathsf{On \ Cancelling \ we \ get,}$

$\sf{2 \ + \ -1\sqrt{3}}$

$\sf{Hence,}$

$\sf{a = 2}$

$\sf{a = -1}$