Question

Find the value of 'n so that the equation v=
r^n (3 cos^2
0 - 1) satisfies the relation​

Answer 1

Given:

•  $Vr^{n} (3cos^{2}$θ$-1)$

• so that,

                $(\frac{dv}{dr})_{r} =nr^{n-1 }(3cos^{2}$θ$-1)$

              $r^{2} (\frac{dv}{dr} )=nr^{n+1} (3cos^{2}$θ$-1)$

           $\frac{d}{dr} (r^{2} \frac{dv}{dr} )=n(n+1)r^{n} (3cos^{2}$θ$-1)$

                          $= n(n+1)v$

   $\frac{dv}{d}$θ$(sin$θ  $\frac{dv}{d}$θ$)$ $=-6r^{n}(-sin$θ $sin^{2}$θ$+$ $cos$θ $.2sin$θ$cos$θ$)$

                      $=-6r^{n} sin$θ$(2cos^{2}$θ$-sin^{2}$θ$)$

• Implying   $\frac{1}{sin}$θ ${$$[$${\frac{d}{d}$θ$(sin$θ $\frac{dv}{d}$θ$)$$]$$=-6r^{n} (2cos^{2}$θ$-sin^{2}$θ$)$

                            $=-6r^{n} (2cos^{2}$θ$+cos^{2}$θ$-1)$

                            $=-6r^{n} (3cos^{2}$θ$-1)$

                            $=-6V$  (using given realation)

• on ading expressions (2) and(5),we get

                       $n(n+1)v-6v=0$

• Which implies ,

                   $(n^{2} +n-6)=0$

          ∴$n^{2}+3n+2n-6=0$

                $(n+3) (n-2)=0$

                     $n=2,-3$