Question

For a continuous probability function f(x)=Kx^2 e^(-x) where x>0. Find (i)K (ii)mean (iii)variance

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{Probability function is}$

$\mathsf{f(x)=K\;x^2\;e^{-x}\;where\;x\;>\;0}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{(i)K}$

$\textsf{(ii)Mean}$

$\textsf{(iii)Variance}$

$\textbf{Solution:}$

$\underline{\mathsf{Finding\;K:}}$

$\textsf{since f(x) is probability function,}$

$\mathsf{\displaystyle\int\limits^{\infty}_{-\infty}\;f(x)\;dx=1}$

$\mathsf{\displaystyle\int\limits^{\infty}_0\;K\,x^2\;e^{-x}dx=1}$

$\mathsf{\displaystyle\;K\int\limits^{\infty}_0\,x^2\;e^{-x}dx=1}$

$\mathsf{Using,}$

$\boxed{\mathsf{\int\limits^{\infty}_0\,x^n\;e^{-ax}dx=\dfrac{n!}{a^{n+1}}}}$

$\mathsf{K\left(\dfrac{2!}{1^{2+1}}\right)=1}$

$\mathsf{K(2)=1}$

$\implies\boxed{\mathsf{K=\dfrac{1}{2}}}$

$\underline{\mathsf{Mean:}}$

$\mathsf{E(X)=\displaystyle\int\limits^{\infty}_{-\infty}x\;f(x)\;dx}$

$\mathsf{E(X)=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\limits^{\infty}_{0}x\;(x^2\,e^{-x})\;dx}$

$\mathsf{E(X)=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\limits^{\infty}_{0}x^3\,e^{-x}\;dx}$

$\mathsf{E(X)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3!}{1^{3+1}}\right)=\dfrac{1}{2}{\times}1{\times}2{\times}3}$

$\implies\boxed{\mathsf{Mean=3}}$

$\mathsf{Also,}$

$\mathsf{E(X^2)=\displaystyle\int\limits^{\infty}_{-\infty}x^2\;f(x)\;dx}$

$\mathsf{E(X^2)=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\limits^{\infty}_{0}x^2\;(x^2\,e^{-x})\;dx}$

$\mathsf{E(X^2)=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\limits^{\infty}_{0}x^4\,e^{-x}\;dx}$

$\mathsf{E(X^2)=\dfrac{1}{2}\dfrac{4!}{1^{4+1}}=\dfrac{1}{2}{\times}1{\times}2{\times}3{\times}4}$

$\implies\mathsf{E(X^2)=12}$

$\underline{\mathsf{Variance:}}$

$\mathsf{Variance=E(X^2)-[E(X)]^2}$

$\mathsf{Variance=12-3^2}$

$\mathsf{Variance=12-9}$

$\implies\boxed{\mathsf{Variance=3}}$

$\textbf{Find more:}$

A continuous random variable X has a p.d.f. f(x)=3x2 , 0≤x≤1. Find a and b such that (i) P(X≤a)=P(X>a), and P(X>b)=0.05.​

https://brainly.in/question/35370998

Find the constant c such that the function f(X)= cx^2 for 0<X<30 otherwise

us a density function,and b) compute p(1<X<2)

https://brainly.in/question/36388998