Question

For what value of in
a^n+b^n/(a^n-1 + b^n-1)
is the G.M between a and b?
​

Answer 1

$\large \boxed{ \mathsf{ \frac{ {a}^{n} + {b}^{n} }{ {a}^{n - 1} + {b}^{n - 1} } }} \\ \\ \mathsf \red{the \: geometric \: mean \: of \: a,b \: is \: \sqrt{ab}} \\ \\ \mathsf{thus \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \mathsf{ \sqrt{ab} \: = \: \frac{ {a}^{n} + {b}^{n} }{ {a}^{n - 1} + {b}^{n - 1} } } \\ \\ \mathsf \red{cross \: multiplying \: the \: yeilds \: : } \\ \\ \mathsf{ {(ab)}^{ \frac{1}{2}}.({a}^{n - 1} + {b}^{n - 1} ) = {a}^{n} + {b}^{n} } \\ \\ \mathsf{ {a}^{n - \frac{1}{2} } {b}^{ \frac{1}{2} } + {a}^{ \frac{1}{2} } {b}^{n - \frac{1}{2} } = {a}^{n} + {b}^{n} } \\ \\ \mathsf{ {a}^{n} \sqrt{ \frac{b}{a} } + {b}^{n} \sqrt{ \frac{a}{b} } = {a}^{n} + {b}^{n} } \\ \\ \mathsf \red{comparing \: \: coeffecients \: : } \\ \\ \mathsf{ \sqrt{ \frac{a}{b} } = 1 , \: } \mathsf{ \sqrt{ \frac{b}{a} } = 1} \\ \\ \mathsf \red{from \: above \: observations \: we \: conclude \: that : } \\ \\ \boxed{ \mathsf{a = b \: and \: n \: can \: be \: any \: number(irrelevant)}}$

$\mathsf{}$

${\sf{\fcolorbox{black}{pink}{© \: ITZBFF}}}$