Question

for whicch value of k will the following pair of linear equation have no solution
3x + y=1
( 2k-1 ) x + ( k - 1 ) y = 2k - 1​

Answer 1

Step-by-step explanation:

The condition for having no solution is:

$\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} is \: not \: equal \: to \: \frac{c1}{c2}$

here, a1=3 b1=1, c1=-1.

A2=2k-1 b2=k-1. C2=1-2k

By taking A1/a2=b1/b2:

=> 3/2k-1=1/k-1

=> 3(k-1)=2k-1

=> 3k-3=2k-1

=> 3k-2k=3-1

=> k=2.

Answer 2

$\underline\mathfrak{Given:-}$

$\: \: \: \: \: \: \: {({2k} \: - \: {1})} \: x \: + \: {({k} \: - \: {2})} \: y \: \: = \: \: {5}$

$\: \: \: \: \: \: \: {({k} \: + \: {2})} \: x \: + \: y \: \: = \: \: {3}$

$\underline\mathfrak{To \: \: Find:-}$

$\: \: \: \: \: The \: \: value \: \: k \: ?$

$\underline\mathfrak{Solutions:-}$

$\: \: \: \: \: \fbox{\dfrac{a_1}{a_2} \: \: = \: \: \dfrac{b_1}{b_2} \: \: \neq \: \: \dfrac{c_1}{c_2}}$

$\: \: \: \: \: \dfrac{{2k} \: - {1}}{{k} \: + \: {2}} \: \: = \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \neq \: \: \dfrac{5}{3}$

$\: \: \: \: \: \leadsto \dfrac{{2k} \: - {1}}{{k} \: + \: {2}} \: \: = \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \: \: \: .....{(1)}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \neq \: \: \dfrac{5}{3} \: \: \: \: \: .....{(2)}.$

$\: \: \: \: \: Now, \: \: cross \: \: multiple \: \: in \: \: Eq. \: \: {(1)}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto \dfrac{{2k} \: - {1}}{{k} \: + \: {2}} \: \: = \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {{2k} \: - {1}} \: \: = \: \: {({k} \: - \: {2})} \: \times \: {{({k} \: + \: {2})}}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {{2k} \: - {1}} \: \: = \: \: {{k}^{2} \: - \: {2}^{2}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: {[(a \: + \: b) \: (a \: - \: b) \: \: = \: \: ({a}^{2} \: - \: {b}^{2}]}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {{2k} \: - {1}} \: \: = \: \: {{k}^{2} \: - \: {4}}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {0} \: \: = \: \: {k}^{2} \: - \: {2k} \: - \: {4} \: + \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {0} \: \: = \: \: {k}^{2} \: - \: {2k} \: - \: {3}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {k}^{2} \: - \: {2k} \: - \: {3}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {k} \: {({k} \: - \: {3})} \: + \: {1} \: {({k} \: - \: {3})}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {({k} \: + \: {1})} \: \: \: {({k} \: - \: {3})}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {k} \: \: = \: \: {-1} \: \: \: Or \: \: \: {k} \: \: = \: \: {3}$

$\: \: \: \: \: Hence, \: \: the \: \: the \: \: value \: \: of \: \: k \: \: is \: \:{-1} \: \: and \: \: {3}.$

$\: \: \: \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \neq \: \: \dfrac{5}{3} \: \: \: \: \: .....{(2)}.$

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