Question

ग्रीन का प्रमेय लिखिए तथा इसे सिद्ध कीजिए​

Answer 1

ग्रीन का प्रमेय ('ग्रीन-रिमेंन सूत्र या ग्रीन प्रमेयिका', कभी-कभी 'गॉस-ग्रीन प्रमेय' भी कहते हैं) किसी बन्द वक्र C के परितः रेखा-समाकल तथा समतल क्षेत्र D पर एक द्वि-समाकल के बीच सम्बन्ध है। यह स्टोक्स प्रमेय का विशेष स्थिति है। पहली बार 1828 में जॉर्ज ग्रीन ने एक शोधप्त्र में इसे प्रस्तुत किया था जिसका नाम था, विद्युत एवं चुम्बकत्व के सिद्धान्तों के लिए गणितीय विश्लेषण के अनुप्रयोग पर एक निबन्ध

Answer 2

Answer:

ग्रीन का प्रमेय कलन के चार मूलभूत प्रमेयों में से एक है, जिसमें चारों एक-दूसरे से निकटता से संबंधित हैं। इसी तरह, ग्रीन का प्रमेय वक्र C के मैक्रोस्कोपिक परिसंचरण और वक्र के अंदर मौजूद सूक्ष्म परिसंचरण के योग के बीच संबंध को परिभाषित करता है। सी।

Explanation:

सबूत : -

निम्नलिखित सरलीकृत क्षेत्र डी के लिए प्रमेय के आधे का प्रमाण है, एक प्रकार I क्षेत्र जहां सी 1 और सी 3 लंबवत रेखाओं (संभवतः शून्य लंबाई) से जुड़े वक्र हैं। प्रमेय के दूसरे आधे भाग के लिए एक समान प्रमाण मौजूद है जब डी एक प्रकार II क्षेत्र है जहां सी 2 और सी 4 क्षैतिज रेखाओं से जुड़े वक्र हैं (फिर से, संभवतः शून्य लंबाई)। इन दोनों भागों को एक साथ रखने पर, प्रमेय इस प्रकार III प्रकार के क्षेत्रों के लिए सिद्ध होता है (क्षेत्रों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दोनों प्रकार I और प्रकार II हैं)। तब सामान्य मामले को इस विशेष मामले से डी को टाइप III क्षेत्रों के एक सेट में विघटित करके घटाया जा सकता है।

अगर यह दिखाया जा सकता है कि अगर

............(1)(given in the attachment)

तथा

............(2)

सत्य हैं, तो ग्रीन का प्रमेय क्षेत्र डी के लिए तुरंत अनुसरण करता है। हम प्रकार I के क्षेत्रों के लिए (1) आसानी से, और प्रकार II के क्षेत्रों के लिए (2) साबित कर सकते हैं। ग्रीन का प्रमेय तब प्रकार III के क्षेत्रों के लिए अनुसरण करता है।

#SPJ2