Question

गणितीय आगमन विधि के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि 1¶+2¶+2¶----+n¶={n_(n+1)_
​

Answer 1

Answer:

गणितीय आगमन का उपयोग करके दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित कथन P(n), n के सभी प्राकृतिक मानों के लिये सत्य है।

{\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}{\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}

(१): सर्वप्रथम यह दिखाएं कि यह कथन n = 0 के लिये सत्य है।

P(0) का मतलब निम्नलिखित कथन होगा-

{\displaystyle 0={\frac {0\cdot (0+1)}{2}}\,.}{\displaystyle 0={\frac {0\cdot (0+1)}{2}}\,.}

स्पष्टतः यह कथन सत्य है क्योंकि इसका दायां पक्ष और बांयां पक्ष दोनो ही शून्य हैं (अतः समान हैं)

अतः n = 0 के लिये कथन सत्य है (अर्थात् P(0) सत्य है।)

(२): अब दिखाएं कि यदि P(k) सत्य मान लिया जाय तो सिद्ध कर सकते हैं कि P(k + 1) भी सत्य है। इसे निम्न प्रकार से दिखा सकते हैं-

माना,

{\displaystyle (0+1+2+\cdots +k)+(k+1)={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}}{\displaystyle (0+1+2+\cdots +k)+(k+1)={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}}

अर्थात् P(k) सत्य है। बांया पक्ष को निम्नलिखित प्रकार से लिखिये-

{\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\,.}{\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\,.}

अब, बीजगणित के अनुसार :

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.\end{aligned}}}

इससे प्रदर्शित हुआ कि वास्तव में P(k + 1) भी सत्य है।

इस प्रकार गणितीय आगमन से सिद्ध हुआ कि उपरोक्त कथन P(n), n के सभी मानों के लिये सत्य है। इतिसिद्धम

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