Question

How many complex numbers satisfies both equations |z-i|=2 and |z-4i|= 1

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{|z-i|=2\;and\;|z-4i|=1}$

$\textbf{To find:}$

$\mathsf{z}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Let\;z=x+i\,y}$

$\mathsf{|z-i|=2}$

$\mathsf{|(x+iy)-i|=2}$

$\mathsf{|x+i(y-1)|=2}$

$\mathsf{\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2}$

$\mathsf{x^2+y^2+1-2y=4}$

$\mathsf{x^2+y^2-2y=3}$-----------(1)

$\mathsf{|z-4i|=1}$

$\mathsf{|(x+iy)-4i|=1}$

$\mathsf{|x+i(y-4)|=1}$

$\mathsf{\sqrt{x^2+(y-4)^2}=1}$

$\mathsf{x^2+y^2+16-8y=1}$

$\mathsf{x^2+y^2-8y=-15}$

$\mathsf{x^2+y^2-2y-6y=-15}$

$\mathsf{x^2+y^2-2y=6y-15}$-----------(2)

$\mathsf{Using\;(1)\;in\;(2)}$

$\mathsf{3=6y-15}$

$\mathsf{3+15=6y}$

$\mathsf{18=6y}$

$\implies\mathsf{y=\dfrac{18}{6}}$

$\implies\boxed{\mathsf{y=3}}$

$\mathsf{Put\;y=3\;in\;(1)}$

$\mathsf{x^2+3^2-2(3)=3}$

$\mathsf{x^2+9-6-3=0}$

$\mathsf{x^2=0}$

$\implies\boxed{\mathsf{x=0}}$

$\underline{\mathsf{z=0+i\,3\;is\;the\;required\;number}}$

$\textbf{Find more:}$