Question

How to prove: cos^8(x)-sin^8(x)= 1/4 cos(2x).(3+cos4x)

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

Answer 2

Step-by-step explanation:

Given

To Prove : $cos^8x - sin^8x = \frac{1}{4} cos2x(3+cos4x)$

LHS

$= cos^8x - sin^8x$

$= (cos^4x)^2 - (sin^4x)^2$

$= (cos^4x - sin^4x)(cos^4x + sin^4x)$    ∵ a² - b² = (a + b)(a - b)

$= ((cos^2x)^2 - sin^2x)^2)((cos^2x)^2 + (sin^2x)^2)$

$= (cos^2x - sin^2x)(1)((sin^2x + cos^2x)^2 - 2sin^2xcos^2x)$

∵ sin²x + cos²x = 1 , cos²x - sin²x = cos2x

$= (cos2x)((1)^2 - 2sin^2xcos^2x)$

$= (cos2x)(1 -2(1-cos^2x)cos^2x)$

$= (cos2x)(1 -(2-2cos^2x)cos^2x)$

$= (cos2x)(1 -(2cos^2x-2cos^4x))$

$= (cos2x)(1 -2cos^2x+2cos^4x))$

Multiplying & dividing by 2,

$= (\frac{1}{2} )(cos2x)(2)(1 -2cos^2x+2cos^4x))$

$= (\frac{1}{2} )(cos2x)(2 -4cos^2x+4cos^4x))$

$= (\frac{1}{2} )(cos2x)(1 + (1 - 4cos^2x + 4cos^4x))$

$= (\frac{1}{2} )(cos2x)(1 + (2cos^2x - 1)^2)$

$= (\frac{1}{2} )(cos2x)(1 + (cos2x)^2)$

Again, multiplying & Dividing by 2,

We get,

$= (\frac{1}{4} )(cos2x)(2)(1 + (cos2x)^2)$

$= (\frac{1}{4} )(cos2x)(2 +2 (cos2x)^2)$

$= (\frac{1}{4} )(cos2x)(3 +(2 (cos2x)^2 - 1))$

$= (\frac{1}{4} )(cos2x)(3 +cos2(2x))$

$= (\frac{1}{4} )(cos2x)(3 +cos4x)$

= RHS

Hence, proved