Question

how to solve ...........................................​

Answer 1

Answer:

$a =\frac{3\sqrt{5} - 5}{2}$

Step-by-step explanation:

Given :

$a=\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{...\infty} } } }$

Solution :

⇒ $a=\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{...\infty} } } }$

⇒ $\frac{a}{5} = \frac{1}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{...\infty} } } }$

let $x = \frac{1}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{...\infty} } } }$

⇒ $\frac{a}{5} = x$ ....(1)

_

⇒ $a+5=5+\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{...\infty} } } }$

⇒ $a + 5 = 5+\frac{5}{\frac{5+\frac{5}{5+\frac{5}{5+\frac{5}{...\infty} } } }{1}}$

⇒ $a + 5= \frac{1}{x}$

⇒ $a + 5 = \frac{1}{(\frac{a}{5} )}$

⇒ $a + 5 = \frac{5}{a}$

⇒ $a^2 + 5a = 5$

⇒ $a^2 + 5a - 5 = 0$

⇒ $a^2 + (\frac{5 - 3\sqrt{5}}{2})a + (\frac{5 +3\sqrt{5} }{2})a - 5 = 0$

⇒ $a(a + \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}) + (\frac{5 +3\sqrt{5} }{2})((a + \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2})) = 0$

⇒ $(a + \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2})(a + \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}) = 0$

⇒  $(a + \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}) = 0$

(or)

 $(a + \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}) = 0$

⇒ $a = -\frac{5 - 3\sqrt{5} }{2} = \frac{3\sqrt{5} - 5}{2}$

(or)

$a = -\frac{5 + 3\sqrt{5} }{2} = \frac{- 5 -3\sqrt{5}}{2}$